Campi vettoriali e il loro dominio
ciao ragazzi eccomi qui con nuovi dubbi allora sto studiando i campi vettoriali e in poche parole vi dico un po di teoria allora il mio obiettivo e quello di determinare se un campo è conservativo cioè se esiste un potenziale U t.c il gradU=F poi un teorema mi dice che se un campo è irrotazionale allora è conservativo sotto ipotesi che il campo econtenuto in un insieme SEMPLICEMENTE CONNESSO (in poche parole il campo deve essere continuo ) da qui mi sorge il problema io ho un campo
$F={x/(zsqrt(x^2+y^2)),y/(zsqrt(x^2+y^2)),-sqrt(x^2+y^2)/z^2}$ questo campo vettoriale non è continuo si vede banalmente che sono funzioni razionali nello spazio adesso qui entra il concetto di campo conservativo locale cioè anche se in tutto $RR^3$non è conservativo ma se io prendo dei sotto insiemi esso è conservativo percio dovrei scrivere il dominio di queste funzioni a finche quello che faccia abbia senso cioè devo scrivere $RR^3-{...}$ le parti del dominio che in in r3 non ho mai scritto ma intuzione mi porta a dire che ogni denominatore deve essere diverso da zero quindi
$zsqrt(x^2+y^2)!=0$
$z^2!=0$
per z=0 so che è il piano z nell origine mentre quella funzione rappresenta tutto asse z ???
il mio scopo è quello di fare un disegno e vedere dove le curve ammettono potenziale e per fare questo devo vedere quali sono le zone dei piani dove non posso disegnare le mie curve
$F={x/(zsqrt(x^2+y^2)),y/(zsqrt(x^2+y^2)),-sqrt(x^2+y^2)/z^2}$ questo campo vettoriale non è continuo si vede banalmente che sono funzioni razionali nello spazio adesso qui entra il concetto di campo conservativo locale cioè anche se in tutto $RR^3$non è conservativo ma se io prendo dei sotto insiemi esso è conservativo percio dovrei scrivere il dominio di queste funzioni a finche quello che faccia abbia senso cioè devo scrivere $RR^3-{...}$ le parti del dominio che in in r3 non ho mai scritto ma intuzione mi porta a dire che ogni denominatore deve essere diverso da zero quindi
$zsqrt(x^2+y^2)!=0$
$z^2!=0$
per z=0 so che è il piano z nell origine mentre quella funzione rappresenta tutto asse z ???
il mio scopo è quello di fare un disegno e vedere dove le curve ammettono potenziale e per fare questo devo vedere quali sono le zone dei piani dove non posso disegnare le mie curve
Risposte
Come hai giustamente detto il campo sarà conservativo al più dove valgono le condizioni:
Se quadri la prima, ottieni $z^2(x^2+y^2)>0$; dato che la seconda impone $z^2!=0$, è lecito dividere la prima per $z^2$, quindi ottieni di fatto:
L'equazione $x^2+y^2=K>0$ rappresenta una circonferenza di raggio $sqrt(K)$ con centro l'orginie.
Le condizioni dicono che le componenti del campo (tutte e tre insieme) sono continue in tutto lo spazio eccetto il piano $z=0$, che è quello che descrive il piano (xy) in $2D$ ed eccetto l'origine di ciascun piano $z=\alpha$. Quindi ovunque tranne il piano $z=0$ e la retta che descrive l'asse $z$.
$\{(zsqrt(x^2+y^2)>0),(z^2!=0):}$.
Se quadri la prima, ottieni $z^2(x^2+y^2)>0$; dato che la seconda impone $z^2!=0$, è lecito dividere la prima per $z^2$, quindi ottieni di fatto:
$\{(x^2+y^2>0),(z!=0):}$.
L'equazione $x^2+y^2=K>0$ rappresenta una circonferenza di raggio $sqrt(K)$ con centro l'orginie.
Le condizioni dicono che le componenti del campo (tutte e tre insieme) sono continue in tutto lo spazio eccetto il piano $z=0$, che è quello che descrive il piano (xy) in $2D$ ed eccetto l'origine di ciascun piano $z=\alpha$. Quindi ovunque tranne il piano $z=0$ e la retta che descrive l'asse $z$.
cmq grazie della risposta ma $z!=0$ è un piano è in particolare il piano xy quindi non è un punto dell origine e poi x^2+y^2!=0 non ho capito quale parte spazio rappresenta
Ti ho scritto quello che hai chiesto nel post precedente, modificandolo!
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