Campi vettoriali conservativi: condizione sufficiente sugli stellati
Salve a tutti. Sto studiando i campi conservativi in Analisi II, ma non riesco a dimostrare il Lemma di Poincarè.
Preliminari:
Posto $F:A->R$ continua e con $A$ aperto di $R^n$, diciamo che $F$ è un campo conservativo se è possibile determinare almeno una $f$ reale di classe $C^1(A)$ tale che $\nablaf=F$.
In termini operativi un campo è conservativo se contemporaneamente:
1.Irrotazionale ($\nablaxxF=0$);
2.Il suo insieme di definizione è un aperto convesso o stellato.
Richiesta:
Mi viene chiesto di dimostrare che la condizione di aperto stellato è SUFFICIENTE a determinare la conservatività di $F $(Lemma di Poincarè), se questo è di classe $C^1(A)$, ma non so proprio da dove cominciare ...
Ringrazio chi mi risponderà.
Preliminari:
Posto $F:A->R$ continua e con $A$ aperto di $R^n$, diciamo che $F$ è un campo conservativo se è possibile determinare almeno una $f$ reale di classe $C^1(A)$ tale che $\nablaf=F$.
In termini operativi un campo è conservativo se contemporaneamente:
1.Irrotazionale ($\nablaxxF=0$);
2.Il suo insieme di definizione è un aperto convesso o stellato.
Richiesta:
Mi viene chiesto di dimostrare che la condizione di aperto stellato è SUFFICIENTE a determinare la conservatività di $F $(Lemma di Poincarè), se questo è di classe $C^1(A)$, ma non so proprio da dove cominciare ...
Ringrazio chi mi risponderà.
Risposte
Forse intendevi dire $F:RR^3->RR^3$ campo vettoriale 
. Puoi utilizzare direttamente la particolarità degli aperti stellati: per definizione sai che esisterà certamente un $x_0 in A| (1-t)x_0+tx, 0<=t<=1$ è tutto contenuto in $A$ per ogni $x$ che sta in A. Supponiamo che tale $x_0$ coincida con l'origine. Considera la forma differenziale associata al campo vettoriale (E supponiamo che essa sia chiusa) e definisci $f=f(x)$ come l'integrale curvilineo di tale forma lungo il cammino rettilineo che sopra ho descritto. A questo punto hai finito... ti basta calcolare le derivate parziali e notare che tutto funziona.
Nota bene: un campo vettoriale che sia irrotazionale non implica che sia conservativo. Inoltre potrebbe essere conservativo ed essere definito su un non semplicemente connesso (E dunque non convesso).
. Puoi utilizzare direttamente la particolarità degli aperti stellati: per definizione sai che esisterà certamente un $x_0 in A| (1-t)x_0+tx, 0<=t<=1$ è tutto contenuto in $A$ per ogni $x$ che sta in A. Supponiamo che tale $x_0$ coincida con l'origine. Considera la forma differenziale associata al campo vettoriale (E supponiamo che essa sia chiusa) e definisci $f=f(x)$ come l'integrale curvilineo di tale forma lungo il cammino rettilineo che sopra ho descritto. A questo punto hai finito... ti basta calcolare le derivate parziali e notare che tutto funziona.Nota bene: un campo vettoriale che sia irrotazionale non implica che sia conservativo. Inoltre potrebbe essere conservativo ed essere definito su un non semplicemente connesso (E dunque non convesso).
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