Campi vettoriali

[anto_zoolander]

Studiando la teoria dei campi vettoriali mi è sorta una domanda abbastanza spontaneamente
Se ho un campo $F:E->RR^n$ con $E$ aperto connesso di $RR^n$ e $x inE$ è possibile trovare una curva $phi:I->E$ di classe $C^2$ tale che $F(phi(t))=kphi’’(t)$ con $k$ costante e tale che $phi(0)=x$?

Ovviamente $a(t)=phi’’(t)$

[otta96]

"anto_zoolander":mi è sorta una domanda abbastanza spontaneamente

Come?

Se ho un campo $F:E->RR$ con $E$ aperto connesso di $RR^n$ e $x inE$ è possibile trovare una curva $phi:I->E$ di classe $C^2$ tale che $F(phi(t))=kphi’’(t)$ con $k$ costante e tale che $phi(0)=x$?

Se $\phi$ è una curva in $RR^n$, anche $\phi''$ lo sarà, e quindi non è possibile l'uguaglianza che chiedi perchè da una parte hai un numero e dall'altra un vettore.

[anto_zoolander]

L’idea è quella di trovare una curva la cui accelerazione segue il campo vettoriale su tutta la traiettoria

Sbagliai scusa era $F:E->RR^n$ infatti intendevo campo vettoriale, modifico.

[otta96]

Me lo immaginavo, ma quindi $k$ è libero di variare?

[anto_zoolander]

$k$ è una costante arbitraria(magari non nulla), ma penso che il problema sia tutt’altro che facile considerando che se fissiamo un riferimento con cui rappresentiamo

$F(x)=sum_(k=1)^(n)f_k(x)e_k$ e $phi(t)=sum_(k=1)^(n)phi_k(t)e_k$

Il problema si riduce nella risoluzione di $n$ equazioni differenziali su $RR$ di questo tipo

$f_k(phi(t))=phi’’_k(t)$ per ogni $k=1,...,n$

Quindi le cose andranno viste caso per caso, o in casi particolari, ma non penso ci siano soluzioni generali

[otta96]

Quello che dici mi sembra giusto, ma mi sembra anche che si possano trovare delle soluzioni usando il teorema di Cauchy per le equazioni differenziali vettoriali.

[killing_buddha]

"In generale" devi risolvere l'equazione differenziale \(F(\varphi)=\ddot \varphi\), cosa non facile; se però $E$ è piccolo abbastanza dovresti sapere che ci sono dei teoremi che garantiscono l'esistenza di una soluzione locale, se $F$ è almeno $C^0$... Certo ce ne saranno che non hanno soluzioni per quadrature: incidentalmente, per mostrare che esistono ODE che non si risolvono per quadrature, l'arma migliore è la teoria di Galois