Cambio di variabili in $\mathbb{R}^n$. Errore libro?
Ciao a tutti,
Sia $U$ un aperto di $\mathbb{R}^n$, e sia $f$ una funzione sommabile su $U$
$\eta$ è invece una funzione $C^\infty$ che vale 0 fuori dalla palla di centro $0$ e di raggio $\epsilon$
ho una funzione $g(x):=\int_U \eta(x-y)*f(y) dy$ ora il mio libro dice che è uguale anche a $\int_{B(0,\epsilon)} \eta(z) * f(x-z) dz$ ma secondo me c'è anche un fattore $(-1)^n$, perchè sto facendo un cambio di variabili in cui $z=x-y$ e quindi $z_i=x_i-y_i$ perciò $dz_i=-dy_i$ e quindi in totale $dz=dz_1\wedgedz_2\wedge...\wedgedz_n=(-1)^n * dy$ no?
Sia $U$ un aperto di $\mathbb{R}^n$, e sia $f$ una funzione sommabile su $U$
$\eta$ è invece una funzione $C^\infty$ che vale 0 fuori dalla palla di centro $0$ e di raggio $\epsilon$
ho una funzione $g(x):=\int_U \eta(x-y)*f(y) dy$ ora il mio libro dice che è uguale anche a $\int_{B(0,\epsilon)} \eta(z) * f(x-z) dz$ ma secondo me c'è anche un fattore $(-1)^n$, perchè sto facendo un cambio di variabili in cui $z=x-y$ e quindi $z_i=x_i-y_i$ perciò $dz_i=-dy_i$ e quindi in totale $dz=dz_1\wedgedz_2\wedge...\wedgedz_n=(-1)^n * dy$ no?
Risposte
"Fox":
Ciao a tutti,
Sia $U$ un aperto di $\mathbb{R}^n$, e sia $f$ una funzione sommabile su U
$\eta$ è invece una funzione $C^\infty$ che vale 0 fuori dalla palla di centro $0$ e di raggio $\epsilon$
ho una funzione $g(x):=\int_U \eta(x-y)*f(y) dy$ ora il mio libro dice che è uguale anche a $\int_{B(0,\epsilon)} \eta(z) * f(x-z) dz$ ma secondo me c'è anche un fattore $(-1)^n$, perchè sto facendo un cambio di variabili in cui $z=x-y$ e quindi $z_i=x_i-y_i$ perciò $dz_i=-dy_i$ e quindi in totale $dz=dz_1\wedgedz_2\wedge...\wedgedz_n=(-1)^n * dy$ no?
credo che sbagli tu -pensa se $f$ e $\eta$ fossero positive e $n$ dispari ....
La formula di cambio d variabile (in una versione non troppo complicata) dice che se $\phi:B\to A$ e' un diffeomorfismo allora
$\int_Bf(\phi(y))|J_{\phi}(y)|dy=\int_A f(x)dx$
dove interviene il MODULO del determinante dello jacobiano $J_\phi$
Se lo vedi come forma differenziale devi anche guardare come $\phi$ cambia l'orientazione, come nel caso dell'intervallo in cui, se $\phi'<0$ si scambiano gli estremi. - questo compensa il
fattore $(-1)^n$
mi stai dicendo che posso farlo perchè sto integrando su una palla, che quindi è simmetrica per lo "scambio di verso" (in 1 dimensione lo scambio degli estremi, come dici tu) di una direzione?
altrimenti avrei dovuto tenere conto che il mio dominio di integrazione era cambiato a causa del diffeomorfismo.
altrimenti avrei dovuto tenere conto che il mio dominio di integrazione era cambiato a causa del diffeomorfismo.
"Fox":
mi stai dicendo che posso farlo perchè sto integrando su una palla, che quindi è simmetrica per lo "scambio di verso" (in 1 dimensione lo scambio degli estremi, come dici tu) di una direzione?
altrimenti avrei dovuto tenere conto che il mio dominio di integrazione era cambiato a causa del diffeomorfismo.
Non credo di rire questo - sto pensando all'orientazione della palla - in cui OGNI direzione viene invertita dalla trasformazione $y=-x$. Per la verita' nei libri su cui ho studiato io, questo discorso non e' mai menzionato. Nel mio vecchio libro di analisi 1 (Campanato) la formula era scrtitta:
Se $\phi:[c,d]\to[a,b]$ e' $C^1$, E' BIGETTIVA, allora $\int_c^df(\phi(t))|\phi'(t)|dt=\int_a^b f(x)dx$ (nota il modulo di $phi'$). Si tratta dell'esatto corrispondente di quella che ho riportato nel post precedente
che (credo) dovrebbe essere la formula standard che si insegna.E' un punto di vista di "teoria della misura" in cui le misure degli insiemi sono positive.
Peraltro in analisi uno il cambiamento di varibile si piu' scrivere anche (ed e' di piu')
$\int_c^df(\phi(t))\phi'(t) dt=\int_{\phi(c)}^{\phi(d)}f(x) dx$ senza supporre $\phi$ bigettiva.
Questa formula presuppone la convenzione per cui l'integrale con gli estremi nell'ordine sbagliato vale meno l'integrale "giusto" - che in sostanza significa considerare l'intervallo con un verso di percorrenza. Credo che questa formula si possa generalizzare in piu' variabili a qualcosa del tipo
$\int_Bf(\phi(y))\det J_\phi(y) dy 0\int_{\phi(B)}f(x)dx$, dove $\phi:B\toRR^n$
considerando $B$ e $A=\phi(B)$ come varieta' orientate ( e ci vorra' credo qualche ipotesi su $\phi$ per questo) e tenendo conto di che orientazione viene indotta su $A$ da $\phi$. Pero'
non e' la cosa standard che si fa ad analisi 2 (per quanto ne so)
Volendo riassumere ci sono due modi di vedere gli integrali:
1) da un punto di vista "misuristico" in cui gli insiemi hanno misura positiva e i cambi di variabile si fanno col modulo del determinante jacobiano, per trasformazioni bigettive
2) dal punto di vista (che non conosco molto bene) delle forme differenziali in cui puo' esserci un'orientazione sui domini e si puo' usare il cambio di variabile senza modulo
Grazie, anche se un pò in ritardo!
Mi sei stato molto di aiuto per correggere la mia svista.
Ciao
Mi sei stato molto di aiuto per correggere la mia svista.
Ciao
"Fox":
Grazie, anche se un pò in ritardo!
Mi sei stato molto di aiuto per correggere la mia svista.
Ciao
Sono contento di essere stato utile - a suo tempo l'argomento aveva creato problemi anche a me.
Ciao
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