Cambio di variabili in integrale 1D (dipendenza da $x^2$)
Mi sono imbattuto nel seguete integrale
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx[/tex], sono riuscito a trovarne il risultato per vie traverse (Polinomi di Hermite), ma ammettiamo che non mi fossi accorto di questo, inizialmente volevo provare a ricondurmi alla funzione Gamma.
Allora provo la sostituzione [tex]z=x^2[/tex] per la quale [tex]dz=2x\,dx[/tex] , quindi perché tale sostituzione sia un diffeomorfismo devo spezzare in 2 il dominio:
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx=-\int_{0}^{-\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx + \int_{0}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx[/tex] (*)
ovviamente per ragioni di simmetria io so che i 2 pezzi di integrale sono uguali e si sommano, comunque faccio finta di non accorgermene
(voglio provare ad essere il meno intuitivo e il più formale possibile, oggi m'è presa così
)
Adesso io direi
[tex]\int_0^{-\infty}x^3 e^{-x^2} \,x\,dx=\frac{1}{2} \int_0^{+\infty}z^\frac{3}{2} e^{-z} dz[/tex] che sono convinto sia sbagliato, ci vorrebbe un meno altrimenti mi si sottrae con l'altro integrale.
Gli estremi dovrebbero essere giusti: Se [tex]x=-\infty \; \Rightarrow \; z=+\infty \;\;[/tex] e Se [tex]\;\; x=0 \; \Rightarrow\; z=0[/tex]
Sto sbagliando qualcosa nella sostituzione? Credo dipenda dal fatto che in uno dei due integrali (*) il [tex]dy[/tex] cresce e nell'altro decresce, ma non riesco a formalizzare la cosa...
Scusate per la domanda che qualcuno può ritenere offensiva
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx[/tex], sono riuscito a trovarne il risultato per vie traverse (Polinomi di Hermite), ma ammettiamo che non mi fossi accorto di questo, inizialmente volevo provare a ricondurmi alla funzione Gamma.
Allora provo la sostituzione [tex]z=x^2[/tex] per la quale [tex]dz=2x\,dx[/tex] , quindi perché tale sostituzione sia un diffeomorfismo devo spezzare in 2 il dominio:
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx=-\int_{0}^{-\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx + \int_{0}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \,dx[/tex] (*)
ovviamente per ragioni di simmetria io so che i 2 pezzi di integrale sono uguali e si sommano, comunque faccio finta di non accorgermene
(voglio provare ad essere il meno intuitivo e il più formale possibile, oggi m'è presa così
)Adesso io direi
[tex]\int_0^{-\infty}x^3 e^{-x^2} \,x\,dx=\frac{1}{2} \int_0^{+\infty}z^\frac{3}{2} e^{-z} dz[/tex] che sono convinto sia sbagliato, ci vorrebbe un meno altrimenti mi si sottrae con l'altro integrale.
Gli estremi dovrebbero essere giusti: Se [tex]x=-\infty \; \Rightarrow \; z=+\infty \;\;[/tex] e Se [tex]\;\; x=0 \; \Rightarrow\; z=0[/tex]
Sto sbagliando qualcosa nella sostituzione? Credo dipenda dal fatto che in uno dei due integrali (*) il [tex]dy[/tex] cresce e nell'altro decresce, ma non riesco a formalizzare la cosa...
Scusate per la domanda che qualcuno può ritenere offensiva
Risposte
se $z=x^2$ allora $x=sqrtz$ e $dx=1/(2sqrtz)dz$
Il fatto è che devi prendere [tex]$x=-\sqrt{y}$[/tex] come relazione inversa di [tex]$y=x^2$[/tex] per [tex]$x\leq 0$[/tex].
Facendo così ottieni [tex]\text{d} x =-\frac{1}{\sqrt{y}}\ \text{d} y[/tex], quindi:
[tex]$\int_{-\infty}^0 x^4 e^{-x^2} \text{d} x = -\int_{+\infty}^0 y^2 e^{-y}\ \frac{1}{\sqrt{y}}\ \text{d} y=\int_0^{+\infty} y^{\frac{3}{2}} e^{-y}\ \text{d} y$[/tex].
Facendo così ottieni [tex]\text{d} x =-\frac{1}{\sqrt{y}}\ \text{d} y[/tex], quindi:
[tex]$\int_{-\infty}^0 x^4 e^{-x^2} \text{d} x = -\int_{+\infty}^0 y^2 e^{-y}\ \frac{1}{\sqrt{y}}\ \text{d} y=\int_0^{+\infty} y^{\frac{3}{2}} e^{-y}\ \text{d} y$[/tex].
Giusto gugo82, grazie!
Ci pensavo giusto oggi pomeriggio in macchina... che non poteva tornare con la x negativa...
avevo perso l'informazione del segno di [tex]x[/tex] nel quadrato, che errore stupido
Ci pensavo giusto oggi pomeriggio in macchina... che non poteva tornare con la x negativa...
avevo perso l'informazione del segno di [tex]x[/tex] nel quadrato, che errore stupido
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