Cambio di variabili
devo calcolare $ int int int_(E)^() z/(xy)dx dy dz $ dove $ E={(x,y,z)∈RR^3:y<=x<=z^2<=4y,x^2<=y<=2x^2,z>=0} $ .
riscrivo $ E={(x,y,z)∈RR^3:(x,y)∈F,√x<=z<=2√y} $ e $ F={(x,y)∈RR^2:y<=x<=4y,x^2<=y<=2x^2} $ .
ora inizio a non seguire più il mio professore, che dice che possiamo introdurre le variabili $ m=y/x $ e $ a=y/x^2 $ ottenendo $ m∈[1/4,1],a∈[1,2] $ .
mi è chiaro il cambio di variabili $ a $ , ma non ho capito come mai risulti $ m∈[1/4,1] $
riscrivo $ E={(x,y,z)∈RR^3:(x,y)∈F,√x<=z<=2√y} $ e $ F={(x,y)∈RR^2:y<=x<=4y,x^2<=y<=2x^2} $ .
ora inizio a non seguire più il mio professore, che dice che possiamo introdurre le variabili $ m=y/x $ e $ a=y/x^2 $ ottenendo $ m∈[1/4,1],a∈[1,2] $ .
mi è chiaro il cambio di variabili $ a $ , ma non ho capito come mai risulti $ m∈[1/4,1] $
Risposte
Ciao itisscience,
Beh, dalla $ y \le x \le z^2 \le 4y $ dividendo per $y $ si ottiene $1 \le x/y \le 4 $, per cui invertendo $1/4 \le y/x \le 1 \iff 1/4 \le m \le 1 $
Beh, dalla $ y \le x \le z^2 \le 4y $ dividendo per $y $ si ottiene $1 \le x/y \le 4 $, per cui invertendo $1/4 \le y/x \le 1 \iff 1/4 \le m \le 1 $
giusto, grazie!
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