Cambio di variabile un po' complicato, in un limite
$lim_(x->0) (1 - x/3)^(2/x)$
Il libro effettua questa sostituzione: $-x/3 = 1/t -> x= -3/t -> 1/x = -t/3$
Ora, sono arrivato a capire fino a $-x/3 = 1/t -> x= -3/t$, poichè:
$-x/3 = 1/t -> (1/3x) / (1/3) = (-1/t) / (1/3) -> x = -1/t \cdot 3 -> x = -3/t$
Questo appunto serve per vedere quanto vale la $x$ quando $-x/3 = 1/t$
Ora però, che c'entra il passaggio $1/x = -t/3$ messo di seguito? E come si deduce dagli altri che lo precedono?
Il libro effettua questa sostituzione: $-x/3 = 1/t -> x= -3/t -> 1/x = -t/3$
Ora, sono arrivato a capire fino a $-x/3 = 1/t -> x= -3/t$, poichè:
$-x/3 = 1/t -> (1/3x) / (1/3) = (-1/t) / (1/3) -> x = -1/t \cdot 3 -> x = -3/t$
Questo appunto serve per vedere quanto vale la $x$ quando $-x/3 = 1/t$
Ora però, che c'entra il passaggio $1/x = -t/3$ messo di seguito? E come si deduce dagli altri che lo precedono?
Risposte
$lim_(x->0) (1 +1/t)^(-2/3*t)$ con la sostituzione dovrebbe venire in questo modo.
Semplicemente ha fatto il reciproco di x, che essendo $-3/t$ diviene $-t/3$.
Semplicemente ha fatto il reciproco di x, che essendo $-3/t$ diviene $-t/3$.
"GenKs":
$lim_(x->0) (1 +1/t)^(-2/3*t)$ con la sostituzione dovrebbe venire in questo modo.
Semplicemente ha fatto il reciproco di x, che essendo $-3/t$ diviene $-t/3$.
Ma per quale motivo lo ha fatto? Per vedere a quanto tende la t quando la x tende a zero, giusto?
Il limite dopo il cambio di variabile diventa $lim_(t->oo) (1 +1/t)^((-2t)/3)$
Per rispondere alla tua domanda osserva che l'esponente della funzione nel primo limite è $2/x$ quindi se sai che $1/x=-t/3$ allora $2/x=-(2t)/3$
Per rispondere alla tua domanda osserva che l'esponente della funzione nel primo limite è $2/x$ quindi se sai che $1/x=-t/3$ allora $2/x=-(2t)/3$
Complicatuccio questo cambio di variabile 
speriamo bene..
speriamo bene..
Ciao ti suggerisco un'altra via , invece di impelagarti in sostituzioni bruttine, usa questa proprietà :
$f(x)^g(x) = e^ (log(f(x))g(x))$ , quindi il tuo limite diventa :
$lim_(x->0) (1 - x/3)^(2/x) = lim_{x->0} e^ (ln(1-x/3)(2/x))$.
Dunque sostanzialmente adesso devi preoccuparti di calcolare
$lim_(x->0) ln(1-x/3)(2/x) =?$
$f(x)^g(x) = e^ (log(f(x))g(x))$ , quindi il tuo limite diventa :
$lim_(x->0) (1 - x/3)^(2/x) = lim_{x->0} e^ (ln(1-x/3)(2/x))$.
Dunque sostanzialmente adesso devi preoccuparti di calcolare
$lim_(x->0) ln(1-x/3)(2/x) =?$
Come l'hai impostato tu viene $e^(0 \cdot oo)$ ... mentre il risultato è $e^(-2/3)$!
Boh, non l'ho capita sta sostituzione :/
Se già si è riusciti a sapere quanto vale la x, e cioè $x= -3/t$, a che serve fare il passaggio dopo?
E poi come si fa a vedere a quanto tende la $t$ se $x -> 0$ ?
Se già si è riusciti a sapere quanto vale la x, e cioè $x= -3/t$, a che serve fare il passaggio dopo?
E poi come si fa a vedere a quanto tende la $t$ se $x -> 0$ ?
X Kashaman: Ti conviene scrivere \(\displaystyle e^{g(x)\ln f(x)} \), è più chiaro 
.
Riguardo al principio iniziale si usa semplicemente il fatto che se \(\displaystyle \frac{a}{b} = c \) allora \(\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{c} \). Cosa c'é di difficile da capire?
.Riguardo al principio iniziale si usa semplicemente il fatto che se \(\displaystyle \frac{a}{b} = c \) allora \(\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{c} \). Cosa c'é di difficile da capire?
"vict85":
X Kashaman: Ti conviene scrivere \(\displaystyle e^{g(x)\ln f(x)} \), è più chiaro
Riguardo al principio iniziale si usa semplicemente il fatto che se \(\displaystyle \frac{a}{b} = c \) allora \(\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{c} \). Cosa c'é di difficile da capire?
Allora il punto è questo: si è arrivati a dire che $x= - 3/t $, penultimo passaggio. Ma già da qui si può sapere a quanto sarà uguale la sostituzione, poichè basta mettere $-3/t$ al posto della x! Per cui, a cosa gli è servito andare avanti di un passaggio facendo il reciproco, arrivando a dire che $1/x = -t/3$ ?
Non capisco l'utilità dell'ultimo passaggio!
Hai ragione in effetti, non lo so, immagino si sia solo fatto prendere un po’ la mano o non riteneva ovvio il passaggio.
Ora il problema è: come si fa a vedere a quanto tenderà la nuova variabile t, se la x tende a 0?
In generale, una volta che tu sei nella forma \(t = \phi(x)\), ti basta sostituire il valore \(0\) alla \(x\). Nel caso 0 non sia nel dominio di \(\phi\) allora bisognerà trovare \(t_0 = \lim_{x\to 0}\phi(x)\) purché questo esista.
"vict85":
In generale, una volta che tu sei nella forma \(t = \phi(x)\), ti basta sostituire il valore \(0\) alla \(x\). Nel caso 0 non sia nel dominio di \(\phi\) allora bisognerà trovare \(t_0 = \lim_{x\to 0}\phi(x)\) purché questo esista.
Eh si, lo sapevo. Ma prova a sostituire tu lo 0 alla x? Il libro dice che tende a $+oo$, quando la x tende a 0. Ma a me $+oo$ in questa forma non viene.
Invece, se consideriamo il passaggio ulteriore che ha fatto, e cioè: $1/x = -t/3$ , se sostituiamo lo zero al posto della x, verrebbe 1 su 0, che è appunto infinito!
Boh ://
Il passaggio ulteriore è necessario in quanto tu devi arrivare alla forma \(t = \phi(x)\) per poter trovare il valore a cui tende la \(t\). Per la sostituzione è invece utile avere la funzione inversa \(x = \psi(t)\), anche se non sempre.
eh ma il libro si è fermato prima! avrebbe dovuto continuare così:
$-t/3 = 1/x -> (1/3)/(1/3)t = (-1/x)/(1/3) -> t = -1/x \cdot 3/1 -> t = -3/x$.
Andando a sostituire allora, alla x il valore 0, viene $-3/0$ che è uguale a $-oo$ ..però il libro dice che la $t$ tende a $+oo$ !!
$-t/3 = 1/x -> (1/3)/(1/3)t = (-1/x)/(1/3) -> t = -1/x \cdot 3/1 -> t = -3/x$.
Andando a sostituire allora, alla x il valore 0, viene $-3/0$ che è uguale a $-oo$ ..però il libro dice che la $t$ tende a $+oo$ !!
ci sono arrivato...
la sostituzione è $-x/3 = 1/t$
Partendo da qui, se voglio trovare quanto vale la x, procedo così: $-x/3 = 1/t -> (1/3)x = -1/t -> x = -1/t \cdot 3/1 -> x = -3/t$
Ora, se voglio trovare invece a quanto tende la t, quando x tende a zero, partendo sempre dalla supposizione iniziale:
$-x/3 = 1/t -> 1/t = -x/3 -> t = -3/x$
la sostituzione è $-x/3 = 1/t$
Partendo da qui, se voglio trovare quanto vale la x, procedo così: $-x/3 = 1/t -> (1/3)x = -1/t -> x = -1/t \cdot 3/1 -> x = -3/t$
Ora, se voglio trovare invece a quanto tende la t, quando x tende a zero, partendo sempre dalla supposizione iniziale:
$-x/3 = 1/t -> 1/t = -x/3 -> t = -3/x$
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