Cambio di variabile indipendente in una equazione differenziale del secondo ordine
Salve
Ho l'equazione differenziale
(1 - x^2)y" -2xy' + p(p+1)y = 0
voglio fare la sostituzione x = 1/z
io ottengo (z^4 - z^2)y" + 2zy' + p(p+1)y = 0
ma pare non sia corretto
secondo il testo dovrebbe essere (z^4 - z^2)y" + 2z^3 y' + p(p+1)y = 0
Ho l'equazione differenziale
(1 - x^2)y" -2xy' + p(p+1)y = 0
voglio fare la sostituzione x = 1/z
io ottengo (z^4 - z^2)y" + 2zy' + p(p+1)y = 0
ma pare non sia corretto
secondo il testo dovrebbe essere (z^4 - z^2)y" + 2z^3 y' + p(p+1)y = 0
Risposte
Ha ragione il testo, visto che gli operatori differenziali si trasformano come segue:
$("d")/("d"x) = -z^2 ("d")/("d"z)$
$("d"^2)/("d"x^2) = z^4 ("d"^2)/("d"z^2) + 2 z^3 ("d")/("d" z)$.
$("d")/("d"x) = -z^2 ("d")/("d"z)$
$("d"^2)/("d"x^2) = z^4 ("d"^2)/("d"z^2) + 2 z^3 ("d")/("d" z)$.
"gugo82":
Ha ragione il testo, visto che gli operatori differenziali si trasformano come segue:
$("d")/("d"x) = -z^2 ("d")/("d"z)$
$("d"^2)/("d"x^2) = z^4 ("d"^2)/("d"z^2) + 2 z^3 ("d")/("d" z)$.
Vero
$("d"^2)/("d"x^2) = ("d")/("d"x) ("d")/("d"x) = -z^2 ("d")/("d"z)(-z^2 . ("d")/("d"z))$
dove basta poi fare la derivata del prodotto in parentesi
Grazie
Yep!
Prego.
Prego.
Ciao cos1950,
Benvenuto sul forum!
Posso chiederti perché vuoi fare questa sostituzione? Magari mi sbaglio, ma non mi pare che l'equazione differenziale iniziale si semplifichi un gran che...
Una sostituzione usata tipicamente è $ x := cos\theta $
L'equazione differenziale del secondo ordine proposta è l'equazione differenziale di Legendre che ha soluzione
$y(x) = c_1 P_p(x) + c_2 Q_p(x) $
ove $P_p(x) $ è la funzione di Legendre del primo tipo, $Q_p(x) $ è la funzione di Legendre del secondo tipo, singolare nei punti $\pm 1 $. Se $p$ è un intero, la funzione di Legendre del primo tipo si riduce ad un polinomio noto come polinomio di Legendre.
Benvenuto sul forum!
"cos1950":
(1 - x^2)y" -2xy' + p(p+1)y = 0
voglio fare la sostituzione x = 1/z
Posso chiederti perché vuoi fare questa sostituzione? Magari mi sbaglio, ma non mi pare che l'equazione differenziale iniziale si semplifichi un gran che...
Una sostituzione usata tipicamente è $ x := cos\theta $
L'equazione differenziale del secondo ordine proposta è l'equazione differenziale di Legendre che ha soluzione
$y(x) = c_1 P_p(x) + c_2 Q_p(x) $
ove $P_p(x) $ è la funzione di Legendre del primo tipo, $Q_p(x) $ è la funzione di Legendre del secondo tipo, singolare nei punti $\pm 1 $. Se $p$ è un intero, la funzione di Legendre del primo tipo si riduce ad un polinomio noto come polinomio di Legendre.
"pilloeffe":
Ciao cos1950,
Benvenuto sul forum!
[quote="cos1950"](1 - x^2)y" -2xy' + p(p+1)y = 0
voglio fare la sostituzione x = 1/z
Posso chiederti perché vuoi fare questa sostituzione? Magari mi sbaglio, ma non mi pare che l'equazione differenziale iniziale si semplifichi un gran che...
Una sostituzione usata tipicamente è $ x := cos\theta $
L'equazione differenziale del secondo ordine proposta è l'equazione differenziale di Legendre che ha soluzione
$y(x) = c_1 P_p(x) + c_2 Q_p(x) $
ove $P_p(x) $ è la funzione di Legendre del primo tipo, $Q_p(x) $ è la funzione di Legendre del secondo tipo, singolare nei punti $\pm 1 $. Se $p$ è un intero, la funzione di Legendre del primo tipo si riduce ad un polinomio noto come polinomio di Legendre.[/quote]
Si, mi sto occupando delle Armoniche sferiche... ho visto che per far vedere che l'equazione di Legendre ammette soluzioni date, a meno di un coefficiente, dalla formula di Rodriguez
Per mostrare la struttura delle soluzioni polinomiali considera una serie, la sostituisce nell'equazione, ricavando la formula ricorrente da cui deduce le soluzioni nell'ipotesi che p sia intero (e lo è perchè rappresenta i valori che può assumere il numero quantico secondario l (elle)... in queste considerazioni procede poi annullando tutti i coefficienti di ogni grado nell'equazione con l'incognita sostituita dalla serie
Ma cosa rappresenta $ Q_p(x) $ ? per risolvere il problema delle armoniche sferiche occorre considerare solo
$ c_1 P_p(x) $... perchè?
Beh, la faccenda è un po' lunghetta da trattare in un post, proverò a riassumerla per quel che ne so cercando di non perdere in chiarezza.
In generale nell'equazione differenziale di Legendre proposta non è detto che $p $ sia un numero intero: dopo aver applicato il metodo di Frobenius ed ipotizzato una soluzione della forma $\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n $ si trovano due espressioni di $P_p(x) $ e $Q_p(x) $ che di fatto sono serie. Non è difficile osservare che ciascuna delle due serie ha raggio di convergenza $R = 1$, pertanto l'integrale generale $ y(x) = c_1 P_p(x) + c_2 Q_p(x) $ scritto nel mio post precedente è valido nell'intervallo $(−1 , 1)$
La prima funzione contiene solo termini di grado pari, pertanto è una funzione pari; la seconda contiene solo termini di grado dispari, pertanto è una funzione dispari. Ci possiamo chiedere ora se per particolari valori del parametro $p$ le funzioni $P_p(x) $ e $Q_p(x) $ espresse tramite serie si riducano a somme finite.
Si può dimostrare che se $p$ è un intero pari, la serie espressione di $P_p(x) $ si riduce ad un polinomio di grado $p$ avente soltanto potenze pari di $x$ e la serie espressione di $Q_p(x) $ diverge; se $p$ è un intero dispari, la serie espressione di $Q_p(x) $ si riduce ad un polinomio di grado $p$ avente soltanto potenze dispari di $x$ e la serie espressione della funzione $P_p(x) $ diverge. Quindi, a seconda che il parametro $p$ sia pari o dispari si pone pari a $0$ la costante che moltiplica la funzione espressa dalla serie che diverge.
Come riferimento potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
In generale nell'equazione differenziale di Legendre proposta non è detto che $p $ sia un numero intero: dopo aver applicato il metodo di Frobenius ed ipotizzato una soluzione della forma $\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n $ si trovano due espressioni di $P_p(x) $ e $Q_p(x) $ che di fatto sono serie. Non è difficile osservare che ciascuna delle due serie ha raggio di convergenza $R = 1$, pertanto l'integrale generale $ y(x) = c_1 P_p(x) + c_2 Q_p(x) $ scritto nel mio post precedente è valido nell'intervallo $(−1 , 1)$
La prima funzione contiene solo termini di grado pari, pertanto è una funzione pari; la seconda contiene solo termini di grado dispari, pertanto è una funzione dispari. Ci possiamo chiedere ora se per particolari valori del parametro $p$ le funzioni $P_p(x) $ e $Q_p(x) $ espresse tramite serie si riducano a somme finite.
Si può dimostrare che se $p$ è un intero pari, la serie espressione di $P_p(x) $ si riduce ad un polinomio di grado $p$ avente soltanto potenze pari di $x$ e la serie espressione di $Q_p(x) $ diverge; se $p$ è un intero dispari, la serie espressione di $Q_p(x) $ si riduce ad un polinomio di grado $p$ avente soltanto potenze dispari di $x$ e la serie espressione della funzione $P_p(x) $ diverge. Quindi, a seconda che il parametro $p$ sia pari o dispari si pone pari a $0$ la costante che moltiplica la funzione espressa dalla serie che diverge.
Come riferimento potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Quindi…
in generale p non è intero, potendo essere anche frazionario. Applicando il metodo di Frobenius si trova la soluzione generale $y(x) = c_1P_p(x) + c_2Q_p(x) $ con p interi. E quindi a seconda che p sia pari o dispari, si azzera la serie che diverge e la funzione si riduce ad un polinomio di grado p.
Più o meno così?
Grazie
in generale p non è intero, potendo essere anche frazionario. Applicando il metodo di Frobenius si trova la soluzione generale $y(x) = c_1P_p(x) + c_2Q_p(x) $ con p interi. E quindi a seconda che p sia pari o dispari, si azzera la serie che diverge e la funzione si riduce ad un polinomio di grado p.
Più o meno così?
Grazie
"cos1950":
Più o meno così?
Beh, più o meno sì...
La soluzione $ y(x) = c_1 P_p(x) + c_2Q_p(x) $ in realtà vale anche se il parametro $p$ non è intero; nel caso particolare in cui lo sia ed è pari diverge la serie espressione di $Q_p(x) $ e si pone $c_2 = 0 $, sicché la soluzione è data da $y(x) = c_1 P_p(x) $, se invece è dispari allora diverge la serie espressione di $P_p(x) $ e si pone $c_1 = 0 $, sicché la soluzione è data da $y(x) = c_2 Q_p(x) $
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