Cambio del differenziale in un integrale

[qwerty901]

Salve! Sarà una cosa di calcolo 1 ma mi confondo un pò.
Il libro fa questa sostituzione che mi è un pò oscura...

$int_r^0 sqrt(r^2 - y^2) * y dy = -1/2 * int_0^r sqrt(r^2 - y^2) *d(r^2 - y^2)$

Cosa ha fatto?

[gugo82]

Vedila come [tex]$\int f(g(x))\ g^\prime(x)\ \text{d} x =\int f(g(x))\ \text{d} [g(x)]$[/tex], che è un modo brutale per suggerire una integrazione per sostituzione con [tex]$t=g(x)$[/tex].

[qwerty901]

"gugo82":Vedila come [tex]$\int f(g(x))\ g^\prime(x)\ \text{d} x =\int f(g(x))\ \text{d} [g(x)]$[/tex], che è un modo brutale per suggerire una integrazione per sostituzione con [tex]$t=g(x)$[/tex].

ah...
$f(x) = sqrt(r^2 - y^2)$
$g(x) = r^2 - y^2$
$g'(x) = -2y$

chiaro, ora si spiega tutto. Grazie.
Ma questa "formula" si può usare sempre eventualmente?

esempio:
$int sen(x)*cos(x)dx = - int cos(x)*d(cos(x)) = -frac{cos^2(x)}{2} $