Cambiamento di variabili integrale doppio

[anima123]

Ho un dubbio abbastanza grande..

Prendiamo in considerazione una circonferenza del tipo : $x^2 + y^2 = 1$ (in teoria la cosa più giusta da dire è che questa è un cilindro con $z=1$, ma per facilitarci, prendiamo in considerazione solo il piano xy)
Quindi raggio = 1, centro nell'origine.
se voglio calcolare l'area del dominio, non devo far altro che passare in coordinate polari e determinare lo jacobiano. Per cui l'integrale doppio diventa

$int_0^(2pi) d theta int_0^1 rho drho = pi$

Bene.. ora proviamo a farlo senza cambio di variabili.. Quindi viene

$int_-1^1 dx int_-sqrt(1-x^2)^(sqrt(1 - x^2)) dy = (pi)/2$

Per cui domanda : se si passa in coordinate polari, il risultato non dovrebbe venire uguale a quello in cui NON si è passato in coordinate polari?

[ciampax]

Mah:

$\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \dy\ dx=\int_{-1}^1 (\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2})\ dx=2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ dx$

Posto $x=\sin t$ si ha

$=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 t\ dt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\cos 2t)\ dt=[t+1/2 \sin(2t)]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi$.

[anima123]

dannazione avevo dimenticato il 2 fuori l'integrale... io l'ho fatto con la formula $1/2 cos t sin t + 1/2 t$ ..
grazie e scusa..