Cambiamento di variabili in una PDE
Salve,data la seguente equazione pde
[tex]2 \frac{\partial^2 U (x, t)}{\partial x^2} - 4 \frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x \partial t} + \frac{\partial U(x,t)}{\partial x}
=0[/tex]
dovrei dimostrare che esce
[tex]\frac{\partial^2 U( e,n )}{\partial e\partial n}-0.25\frac{\partial^2 U ( e,n)}{\partial e^2}=0[/tex]
sono arrivato alla seguente equazione:
[tex]-4 \frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n } - 8\frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n - \partial n^2} +2\frac{\partial U(e,n)}{\partial e -\partial n}=0[/tex]
e adesso mi sono bloccato, potreste darmi qualche suggerimento?grazie!
nb cambiamento di variabile sono:
[tex]e= 2x+ t , n=t[/tex]
[mod="Gugo82"]Titolo modificato da un moderatore, dato che l'utente gibbs helmoltz ha ignorato un richiamo esplicito.
@ gibbs helmoltz: Al prossimo richiamo ignorato chiederò agli amministratori di prendere provvedimenti. Visti i precedenti, ti consiglio di rigar dritto.[/mod]
[tex]2 \frac{\partial^2 U (x, t)}{\partial x^2} - 4 \frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x \partial t} + \frac{\partial U(x,t)}{\partial x}
=0[/tex]
dovrei dimostrare che esce
[tex]\frac{\partial^2 U( e,n )}{\partial e\partial n}-0.25\frac{\partial^2 U ( e,n)}{\partial e^2}=0[/tex]
sono arrivato alla seguente equazione:
[tex]-4 \frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n } - 8\frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n - \partial n^2} +2\frac{\partial U(e,n)}{\partial e -\partial n}=0[/tex]
e adesso mi sono bloccato, potreste darmi qualche suggerimento?grazie!
nb cambiamento di variabile sono:
[tex]e= 2x+ t , n=t[/tex]
[mod="Gugo82"]Titolo modificato da un moderatore, dato che l'utente gibbs helmoltz ha ignorato un richiamo esplicito.
@ gibbs helmoltz: Al prossimo richiamo ignorato chiederò agli amministratori di prendere provvedimenti. Visti i precedenti, ti consiglio di rigar dritto.[/mod]
Risposte
Non ho controllato la sostituzione ma hai provato a separare le variabili? con questo tipo di pde's spesso funziona (vedi serie di Fourier).
no, non ho provato a separare le variabili, in che modo dovrei operare?
"gibbs helmoltz":
[tex]$ -4 \frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n } - 8\frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n - \partial n^2} +2\frac{\partial U(e,n)}{\partial e -\partial n}=0$[/tex]
[...] cambiamento di variabile sono:
[tex]$ e= 2x+ t , n=t $[/tex]
Innanzitutto, hai capito come funziona e si fa il cambiamento di variabili in una PDE?
Per te che significato hanno i simboli [tex]$\frac{\partial^2 U(e,n)}{\partial e \partial n - \partial n^2},\ \frac{\partial U(e,n)}{\partial e -\partial n}$[/tex]?
Inoltre, ti ricordo che in italiano il verbo concorda in numero col sostantivo.
purtroppo il mio professore nn ha spiegato in classe come si risolvono questo tipo di esercizi,io ho cercato di usare la stessa tecnica per ottenere la soluzione nel caso
dell'equazione delle onde di tipo iperbolico in una dimensione,cioè passando prima in coordinate nulle e poi dimostrando l'equazione seguente:
[tex]-4v^2 \frac{\partial^2 U (n,e)}{\partial n \partial e}=0[/tex]
quindi credo che il processo sia il medesimo,sai aiutarmi allora?
dell'equazione delle onde di tipo iperbolico in una dimensione,cioè passando prima in coordinate nulle e poi dimostrando l'equazione seguente:
[tex]-4v^2 \frac{\partial^2 U (n,e)}{\partial n \partial e}=0[/tex]
quindi credo che il processo sia il medesimo,sai aiutarmi allora?
[mod="Gugo82"]Occorre un titolo un po' più specifico per il thread.
Posso suggerire "Cambiamento di variabili in una PDE" (o qualcosa di simile)?[/mod]
Sì, va bene... Hai provato a fare gli stessi passaggi (più o meno): perchè non li posti?
Almeno riusciremmo a capire come sei arrivato a quelle derivate parziali "strane"... Un significato per te ce l'avranno, no? Cerca di spiegarlo. Non credo che il tuo scopo sia scrivere simboli senza senso.
P.S.: Certo, in linea di principio dovrei saper svolgere l'esercizio; ma la risoluzione non spetta a me. Aiutarti non significa risolverti l'esercizio, ma mostrarti dove sbagli.
P.P.S.: Di una questione grossomodo analoga si era cominciato a parlare tempo fa qui... Peccato che la discussione non sia andata avanti.
Posso suggerire "Cambiamento di variabili in una PDE" (o qualcosa di simile)?[/mod]
"gibbs helmoltz":
purtroppo il mio professore nn ha spiegato in classe come si risolvono questo tipo di esercizi,io ho cercato di usare la stessa tecnica per ottenere la soluzione nel caso
dell'equazione delle onde di tipo iperbolico in una dimensione,cioè passando prima in coordinate nulle e poi dimostrando l'equazione seguente:
[tex]-4v^2 \frac{\partial^2 U (n,e)}{\partial n \partial e}=0[/tex]
quindi credo che il processo sia il medesimo, sai aiutarmi allora?
Sì, va bene... Hai provato a fare gli stessi passaggi (più o meno): perchè non li posti?
Almeno riusciremmo a capire come sei arrivato a quelle derivate parziali "strane"... Un significato per te ce l'avranno, no? Cerca di spiegarlo. Non credo che il tuo scopo sia scrivere simboli senza senso.
P.S.: Certo, in linea di principio dovrei saper svolgere l'esercizio; ma la risoluzione non spetta a me. Aiutarti non significa risolverti l'esercizio, ma mostrarti dove sbagli.
P.P.S.: Di una questione grossomodo analoga si era cominciato a parlare tempo fa qui... Peccato che la discussione non sia andata avanti.
i passaggi attraverso cui arrivo a quella espressione li ho tutti e li ho ricavati da solo, per il resto il significato di quei simboli è proprio il concetto di derivate parziali,cosa dovrei spiegare in piu?Non chiedo che mi risolvi l'esercizio poichè sono arrivato da solo al cambiamento di variabili solo che non so in che modo potrei separare le variabili poichè non mi è stato mai spiegato,se lo sai e ti và allora me lo spieghi e provo ad arrivare alla soluzione da solo
Scusa gibbs helmoltz che ti costa trascrivere i passaggi?
Non sto mettendo in dubbio che tu abbia fatto qualcosa, quindi non vedo perchè ti inalberi; ti sto solo chiedendo un minimo di sforzo per poter affrontare velocemente la questione.
Mica pretendi che io debba rifarmi da solo e poi ti spiattelli tutti i passaggi di un tuo esercizio?
Per quanto riguarda il "concetto di derivate parziali", sono sincero: non ho mai visto simboli del genere [tex]$\frac{\partial U}{\partial e -\partial n} ,\ \frac{\partial^2 U}{\partial e \partial n -\partial n^2}$[/tex]. Mai. E non capisco quale concetto possano rappresentare.
Quindi ti sto chiedendo di spiegarmi questi simboli; visto che li hai scritti, qualcosa per te significheranno pure, no?
Ad ogni buon conto, ho idea che tu abbia fatto un gran casino perchè confondi il cambiamento di variabili con una semplice (e del tutto errata!!!) manipolazione algebrica dei simboli [tex]$\partial x,\ \partial t,\ \partial e,\ \partial n$[/tex]; ma finché tu non mi mostri il tuo lavoro non saprò mai se ci ho visto giusto, quindi non potrò aiutarti come si deve.
Come già ti ho detto tempo fa in PM (lo ricordi quello scambio? Io lo ricordo bene e ne ricordo anche le conseguenze), chi è causa del suo mal non se la prenda con chi fa il proprio mestiere (e vuole aiutarlo).
P.S.: Ho modificato il titolo del thread, giacché non l'hai fatto da solo.
Ignorare una richiesta così esplicita da parte di un mod non è una bella cosa.
Non sto mettendo in dubbio che tu abbia fatto qualcosa, quindi non vedo perchè ti inalberi; ti sto solo chiedendo un minimo di sforzo per poter affrontare velocemente la questione.
Mica pretendi che io debba rifarmi da solo e poi ti spiattelli tutti i passaggi di un tuo esercizio?
Per quanto riguarda il "concetto di derivate parziali", sono sincero: non ho mai visto simboli del genere [tex]$\frac{\partial U}{\partial e -\partial n} ,\ \frac{\partial^2 U}{\partial e \partial n -\partial n^2}$[/tex]. Mai. E non capisco quale concetto possano rappresentare.
Quindi ti sto chiedendo di spiegarmi questi simboli; visto che li hai scritti, qualcosa per te significheranno pure, no?
Ad ogni buon conto, ho idea che tu abbia fatto un gran casino perchè confondi il cambiamento di variabili con una semplice (e del tutto errata!!!) manipolazione algebrica dei simboli [tex]$\partial x,\ \partial t,\ \partial e,\ \partial n$[/tex]; ma finché tu non mi mostri il tuo lavoro non saprò mai se ci ho visto giusto, quindi non potrò aiutarti come si deve.
Come già ti ho detto tempo fa in PM (lo ricordi quello scambio? Io lo ricordo bene e ne ricordo anche le conseguenze), chi è causa del suo mal non se la prenda con chi fa il proprio mestiere (e vuole aiutarlo).
P.S.: Ho modificato il titolo del thread, giacché non l'hai fatto da solo.
Ignorare una richiesta così esplicita da parte di un mod non è una bella cosa.
ok ti scrivo quelli per la pde delle onde
[tex]\frac{\partial^2 U(t , x )}{\partial t^2}-v^2\frac{\partial^2 U (t,x)}{\partial x^2}=0
x+vt=e , x-vt=n
\partial t^2=-\frac{\partial n\partial e}{2v^2}
\partial x=0.5(-\partial e + \partial n)
\partial x^2= \frac{\partial n \partial e }{2}[/tex]
detto ciò vado a sostituire i differenziali delle rispettive variabili e mi esce la formula vista prima
Ps. non avevo fatto caso al riquadro giallo dove dicevi di cambiare il titolo
e si probabilmente confondo il cambiamento di variabili con semplici sostituzioni algebriche, evidentemente le semplici sostituzioni algebriche nel mio caso vanno bene ma in quello del post no perchè mi danno quei simboli che effettivamente non hanno senso
[tex]\frac{\partial^2 U(t , x )}{\partial t^2}-v^2\frac{\partial^2 U (t,x)}{\partial x^2}=0
x+vt=e , x-vt=n
\partial t^2=-\frac{\partial n\partial e}{2v^2}
\partial x=0.5(-\partial e + \partial n)
\partial x^2= \frac{\partial n \partial e }{2}[/tex]
detto ciò vado a sostituire i differenziali delle rispettive variabili e mi esce la formula vista prima
Ps. non avevo fatto caso al riquadro giallo dove dicevi di cambiare il titolo
e si probabilmente confondo il cambiamento di variabili con semplici sostituzioni algebriche, evidentemente le semplici sostituzioni algebriche nel mio caso vanno bene ma in quello del post no perchè mi danno quei simboli che effettivamente non hanno senso
mentre per quanto riguarda la pde riguardante il post ottengo i seguenti differenziali:
[tex]\partial x^2 = -0.5\partial n \partial e
\partial t=-\partial n
\partial x =0.5(\partial e-\partial n)[/tex]
quando vado a sostituire mi escono quei simboli che non hanno senso.
[tex]\partial x^2 = -0.5\partial n \partial e
\partial t=-\partial n
\partial x =0.5(\partial e-\partial n)[/tex]
quando vado a sostituire mi escono quei simboli che non hanno senso.
"gibbs helmoltz":
[tex]\begin{cases} e=x+vt \\ n=x-vt\end{cases}
\partial t^2=-\frac{\partial n\partial e}{2v^2}
\partial x=0.5(-\partial e + \partial n)
\partial x^2= \frac{\partial n \partial e }{2}[/tex]
Mah, sinceramente non credevo che qualcuno usasse i simboli di differenziale parziale in questo modo. Di solito questi giochetti non hanno cittadinanza nella Matematica "ufficiale", ma forse tra gli ingegneri sono usati...
Ribadisco che per me scrivere [tex]$\frac{\partial U}{\partial e-\partial n}$[/tex] o cose come [tex]$\partial x=0.5(-\partial e + \partial n)$[/tex] non ha senso.
Se qualcun altro vuol dire la sua su questa questione notazionale, ben venga.
Ad ogni modo, il modo formalmente corretto di procedere con il tuo cambiamento di variabili è il seguente.
Supponi che [tex]$U(x,t)$[/tex] sia una soluzione della tua equazione iniziale; scelto il cambiamento di variabili:
[tex]$\begin{cases} e=2x+t \\ n=t\end{cases}$[/tex]
chiama [tex]$V(e,n)$[/tex] l'unica funzione tale che [tex]$U(x,y)=V(2x+t,t)$[/tex] (che è [tex]$V(e,n):=U(\frac{1}{2} (e-n),n)$[/tex], in realtà, ma ciò non ci interessa molto al momento); ora calcola le derivate di [tex]$U$[/tex], fino a quelle d'ordine massimo che compaiono nella tue equazione, in funzione di quelle di [tex]$V$[/tex] (sfruttando il teorema di derivazione delle funzioni composte):
[tex]$U_x(x,t)=2V_e(2x+t,t),\ U_t(x,t)=V_e(2x+t,t)+V_n(2x+t,t)$[/tex]
[tex]$U_{xx}(x,t)=4V_{ee}(2x+t,t)$[/tex]
[tex]$U_{xt}(x,t)=2\left[ V_{ee}(2x+t,t) +V_{en}(2x+t,t)\right]=U_{tx}(x,t)$[/tex]
[tex]$U_{tt}(x,t)=V_{ee}(2x+t,t)+V_{en}(2x+t,t)+V_{ne}(2x+t,t)+V_{nn}(2x+t,t)=V_{ee}(2x+t,t)+2V_{en}(2x+t,t)+V_{nn}(2x+t,t)$[/tex]
e sostituisci ciò che ti serve nell'equazione di partenza, che era [tex]$2 U_{xx}(x,t)-4U_{xt}(x,t)+U_x(x,t)=0$[/tex]:
[tex]$2 \Big( 4V_{ee}(2x+t,t)\Big) -4\Big( 2\left[ V_{ee}(2x+t,t) +V_{en}(2x+t,t)\right] \Big) + 2V_e(2x+t,t)=0$[/tex];
sostituisci [tex]$e=2x+t,\ n=t$[/tex] nella nuova equazione, fai un po' di passaggi e trovi che nelle nuove variabili la tua equazione diventa:
[tex]$-8V_{en}(e,n)+2V_e(e,n)=0$[/tex]
che, a conti fatti, è proprio quel che ti serve.
Un consiglio per i prossimi esercizi: lascia perdere la manipolazione dei differenziali, checché ne dicano i tuoi docenti. Se non si conoscono bene le regole, si rischia di fare molti più danni di quanti calcoli si vogliano evitare.
ok grazie mi trovo con i passaggi e mi escono tutti gli altri esercizi tranne uno che è il seguente:
[tex]U_{xx}-6U_{yx}+12U_{yy}=0
U_{x}=V_{X}
U_{xx}=V_{XX}
U_{y}=\frac{1}{4}V_{X}+\frac{\sqrt3}{12}V_{Y}
U_{yx}=\frac{1}{4}V_{XX}+\frac{\sqrt3}{12}V_{XY}
U_{yy}=\frac{1}{16}V_{XX}+\frac{\sqrt3}{48}V_{XY}+\frac{\sqrt3}{48}V_{XY}+\frac{3}{144}V_{YY}
X=x+y(1/4)
Y=y(\sqrt3/12)[/tex]
mi vedi se ti trovi per piacere?
[tex]U_{xx}-6U_{yx}+12U_{yy}=0
U_{x}=V_{X}
U_{xx}=V_{XX}
U_{y}=\frac{1}{4}V_{X}+\frac{\sqrt3}{12}V_{Y}
U_{yx}=\frac{1}{4}V_{XX}+\frac{\sqrt3}{12}V_{XY}
U_{yy}=\frac{1}{16}V_{XX}+\frac{\sqrt3}{48}V_{XY}+\frac{\sqrt3}{48}V_{XY}+\frac{3}{144}V_{YY}
X=x+y(1/4)
Y=y(\sqrt3/12)[/tex]
mi vedi se ti trovi per piacere?
Il cambiamento proposto ti porta l'equazione in un'equazione di Laplace, ossia [tex]$V_{XX}+V_{YY}=0$[/tex].
Ciò è abbastanza normale, dato che l'equazione di partenza è lineare ed ellittica (come puoi facilmente verificare); il cambiamento di variabili sarà stato pensato proprio per ricondurre l'equazione in forma canonica, ossia all'equazione di Laplace.
Non so se "mi trovo" col tuo risultato giacché, come al solito, non lo riporti...
Sarebbe bello aver sempre a che fare con utenti che imparano dai propri errori, ma purtroppo non sempre ciò che è bello accade nella vita reale.
Ciò è abbastanza normale, dato che l'equazione di partenza è lineare ed ellittica (come puoi facilmente verificare); il cambiamento di variabili sarà stato pensato proprio per ricondurre l'equazione in forma canonica, ossia all'equazione di Laplace.
Non so se "mi trovo" col tuo risultato giacché, come al solito, non lo riporti...
Sarebbe bello aver sempre a che fare con utenti che imparano dai propri errori, ma purtroppo non sempre ciò che è bello accade nella vita reale.
Ti avevo riportato le [tex]U_{x} U_{y}[/tex] ecc in modo da confrontarle per arrivare all'espressione finale,va bene ti riporto ciò che mi sono ricavato
[tex]V_{XX} - \frac{6}{4}V_{XY} - \frac{\sqrt3}{2}V_{XY} + \frac{12}{16}V_{XX} + \frac{\sqrt3}{4}V_{XY} + \frac{\sqrt3}{4}V_{XX} + \frac{1}{4}V_{YY} =0[/tex]
[tex]V_{XX} - \frac{6}{4}V_{XY} - \frac{\sqrt3}{2}V_{XY} + \frac{12}{16}V_{XX} + \frac{\sqrt3}{4}V_{XY} + \frac{\sqrt3}{4}V_{XX} + \frac{1}{4}V_{YY} =0[/tex]
Ah, non avevo capito.
Comunque con le tue derivate mi trovo; non mi trovo con quello che ti esce fuori dalla sostituzione... Sono sicuro del mio risultato (controllato sia a mano sia col calcolatore), quindi prova a rifare i conti.
P.S.: Fai un po' di semplificazioni/somme quando esprimi le derivate; tipo [tex]$\frac{3}{144}=\frac{1}{48}$[/tex] e [tex]$\frac{\sqrt{3}}{48} V_{XY}+\frac{\sqrt{3}}{48} V_{XY}=\frac{\sqrt{3}}{24} V_{XY}$[/tex].
Comunque con le tue derivate mi trovo; non mi trovo con quello che ti esce fuori dalla sostituzione... Sono sicuro del mio risultato (controllato sia a mano sia col calcolatore), quindi prova a rifare i conti.
P.S.: Fai un po' di semplificazioni/somme quando esprimi le derivate; tipo [tex]$\frac{3}{144}=\frac{1}{48}$[/tex] e [tex]$\frac{\sqrt{3}}{48} V_{XY}+\frac{\sqrt{3}}{48} V_{XY}=\frac{\sqrt{3}}{24} V_{XY}$[/tex].
guarda lo ho ricontrollato anche io con matlab e mi esce il seguente risultato: 7/4Vxx -3/2Vxy+Vyy/4=0 c'e' qualcosa che non torna:D
Vediamo...
Innanzitutto ho semplificato il cambiamento di variabili derazionalizzando quel [tex]$\sqrt{3}$[/tex] (mi faceva troppo senso tenerlo a numeratore, dato che [tex]$3$[/tex] è un fattore di [tex]$12$[/tex] e che se non semplifico mi vengono numeri alti che mi secca gestire) ed ottenendo:
[tex]$\begin{cases} X=x+\frac{1}{4}y\\ Y=\frac{1}{4\sqrt{3}} y\end{cases}$[/tex].
Dopodiché, posto [tex]$U(x,y):=V(x+\frac{1}{4}y, \frac{1}{4\sqrt{3}} y)$[/tex], ho derivato:
[tex]$U_x(x,y)=V_X$[/tex]
[tex]$U_y(x,y)=\frac{1}{4}V_X+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_Y$[/tex]
[tex]$U_{xx}(x,y)=V_{XX}$[/tex]
[tex]$U_{xy}(x,y)=U_{yx}(x,y)=\frac{1}{4}V_{XX}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{XY}$[/tex]
[tex]$U_{yy}(x,y)=\frac{1}{4} \Big( \frac{1}{4}V_{XX}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{XY} \Big) +\frac{1}{4\sqrt{3}} \Big( \frac{1}{4} V_{XY}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{YY} \Big) =\frac{1}{16} V_{XX}+\frac{1}{8\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{1}{48} V_{YY}$[/tex]
con i secondi membri calcolati in [tex]$(x+\frac{1}{4}y, \frac{1}{4\sqrt{3}} y)$[/tex] ovviamente.
Quindi fin qui tutto ok, dato che (fatte le dovute semplificazioni) le derivate sono le stesse.
Ora, sostituendo ciò che va sostituito, l'operatore differenziale diventa:
[tex]$U_{xx}-6U_{xy}+12U_{yy}=V_{XX}-6\Big( \frac{1}{4}V_{XX}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{XY}\Big) +12 \Big( \frac{1}{16} V_{XX}+\frac{1}{8\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{1}{48} V_{YY}\Big)$[/tex]
[tex]$=V_{XX}-\frac{3}{2} V_{XX}-\frac{3}{2\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{3}{4} V_{XX}+\frac{3}{2\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{1}{4} V_{YY}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4} V_{XX}+\frac{1}{4} V_{YY}$[/tex],
cosicché l'equazione iniziale si riduce a [tex]$V_{XX}+V_{YY}=0$[/tex] (semplificando ulteriormente quel fattore [tex]$\frac{1}{4}$[/tex]).
P.S.: Curiosità: come hai fatto a controllare con MatLab? Hanno implementato il calcolo simbolico? O hai diagonalizzato la matrice dell'operatore?
Innanzitutto ho semplificato il cambiamento di variabili derazionalizzando quel [tex]$\sqrt{3}$[/tex] (mi faceva troppo senso tenerlo a numeratore, dato che [tex]$3$[/tex] è un fattore di [tex]$12$[/tex] e che se non semplifico mi vengono numeri alti che mi secca gestire) ed ottenendo:
[tex]$\begin{cases} X=x+\frac{1}{4}y\\ Y=\frac{1}{4\sqrt{3}} y\end{cases}$[/tex].
Dopodiché, posto [tex]$U(x,y):=V(x+\frac{1}{4}y, \frac{1}{4\sqrt{3}} y)$[/tex], ho derivato:
[tex]$U_x(x,y)=V_X$[/tex]
[tex]$U_y(x,y)=\frac{1}{4}V_X+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_Y$[/tex]
[tex]$U_{xx}(x,y)=V_{XX}$[/tex]
[tex]$U_{xy}(x,y)=U_{yx}(x,y)=\frac{1}{4}V_{XX}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{XY}$[/tex]
[tex]$U_{yy}(x,y)=\frac{1}{4} \Big( \frac{1}{4}V_{XX}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{XY} \Big) +\frac{1}{4\sqrt{3}} \Big( \frac{1}{4} V_{XY}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{YY} \Big) =\frac{1}{16} V_{XX}+\frac{1}{8\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{1}{48} V_{YY}$[/tex]
con i secondi membri calcolati in [tex]$(x+\frac{1}{4}y, \frac{1}{4\sqrt{3}} y)$[/tex] ovviamente.
Quindi fin qui tutto ok, dato che (fatte le dovute semplificazioni) le derivate sono le stesse.
Ora, sostituendo ciò che va sostituito, l'operatore differenziale diventa:
[tex]$U_{xx}-6U_{xy}+12U_{yy}=V_{XX}-6\Big( \frac{1}{4}V_{XX}+\frac{1}{4\sqrt{3}} V_{XY}\Big) +12 \Big( \frac{1}{16} V_{XX}+\frac{1}{8\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{1}{48} V_{YY}\Big)$[/tex]
[tex]$=V_{XX}-\frac{3}{2} V_{XX}-\frac{3}{2\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{3}{4} V_{XX}+\frac{3}{2\sqrt{3}} V_{XY} +\frac{1}{4} V_{YY}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4} V_{XX}+\frac{1}{4} V_{YY}$[/tex],
cosicché l'equazione iniziale si riduce a [tex]$V_{XX}+V_{YY}=0$[/tex] (semplificando ulteriormente quel fattore [tex]$\frac{1}{4}$[/tex]).
P.S.: Curiosità: come hai fatto a controllare con MatLab? Hanno implementato il calcolo simbolico? O hai diagonalizzato la matrice dell'operatore?
si hanno implementato il calcolo simbolico , la funzione è "syms" e poi si dichiarono le variabili nel senso :
syms Uxx Uxy Ux Uyy Vx Vxx Vxy Vy Vyy;
tu che programma hai usato?
Per quanto riguarda l'errore mi sono sbagliato a scrivere l'espressione della Uxy al calcolatore e a mano mentre invece te l'avevo scritta giusta nel post : errore di distrazione sfigato....grazie per la verifica.
syms Uxx Uxy Ux Uyy Vx Vxx Vxy Vy Vyy;
tu che programma hai usato?
Per quanto riguarda l'errore mi sono sbagliato a scrivere l'espressione della Uxy al calcolatore e a mano mentre invece te l'avevo scritta giusta nel post : errore di distrazione sfigato....grazie per la verifica.
Addirittura il calcolo simbolico su MatLab... Vedi un po' quante novità!
Non uso MatLab da anni; grazie per avermi informato.
Mathematica 5.
Non uso MatLab da anni; grazie per avermi informato.
"gibbs helmoltz":
tu che programma hai usato?
Mathematica 5.
di niente grazie a te buone feste
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