Cambiamento di variabile negli intagrali di superficie

[qwertyuio1]

Ciao a tutti. Mi chiedevo se esiste una formula per il cambiamento di variabile negli integrali di superficie.
Per intenderci se $\lambda$ è la misura di Lebesgue in $R^n$ e $\phi$ è un diffeormismo tra aperti di $R^n$, si può scrivere brevemente
$x=\phi(y) \Rightarrow \lambda(dx)=|detJac(\phi)(y)|*\lambda(dy)$ .
Se invece considero $\sigma$, la misura di Hausdorf $p$-dimensionale (p $x=\psi(y) \Rightarrow \sigma(dx)= ?? *\sigma(dy)$ .

[qwertyuio1]

niente?

[ciampax]

Pensa al caso banale di una superficie: se essa ha due parametrizzazioni equivalenti $r_1(u,v),\ r_2(U,V)$ vuol dire che esiste una trasformazione di coordinate $\psi:(u,v)\to (U,V)$ che sia regolare (il senso lo dovresti sapere). Ora, sai come si scrive la misura sulla superficie una volta note le parametrizzazioni: infatti si ha

[tex]$\sigma(d(u,v))=\sqrt{eg-f^2}\ du\ dv,\qquad \sigma(d(U,V))=\sqrt{EG-F^2}\ dU\ dV$[/tex]

dove $e,g,f$ e $E,G,F$ sono i coefficienti della prima forma fondamentale delle due rappresentazioni. Come passi da una all'altra? Se riesci a capirlo, questo è il modello che puoi generalizzare a qualsiasi misura.