Cambiamento di variabile definito da un campo

[paolo.math11]

Buonasera,
reputo il Canuto-Tabacco uno dei migliori libri di Analisi 1 e 2 in quanto spiega in maniera rigorosa quasi tutto ed è più intuitivo ad esempio del Verzini.

Mi sono imbattuto in un possibile errore teorico (non ho trovato una spiegazione analoga in altri libri di analisi):
"Definizione Un campo vettoriale Φ : R1 → R2 (dove R1 è un’altra regione di R^n, di interno A1) definisce un cambiamento di variabile, o cambiamento di coordinate, in R2 se ha le seguenti proprietà:
i) Φ è una biiezione tra R1 e R2;
ii) Φ è di classe C1 in A1;
iii)Φ è regolare in A1, ossia la sua matrice jacobiana JΦ è non singolare in ogni punto di A1.

Coordinate sferiche. Consideriamo infine la trasformazione, derivabile infinite
volte,
Φ : [0,+∞)×R^2 → R^3 , (r, ϕ,θ ) → (x, y, z) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cosϕ)

Ne segue che Φ realizza un cambiamento di variabile ortogonale e destrorso tra
la regione R1 = (0,+∞)×[0, π]×(−π,π ] ∪{(0, 0, 0)} e R2 = R^3. "

Secondo me, data la definizione, Φ è una biiezione tra R1 e R^3 se e solo se R1 = (0,+∞)×(0, π)×(−π,π ] ∪{(0, 0, 0)}∪(0,+∞)×{(0)}×{(0)}∪(0,+∞)×{(π)}×{(0)} perché se R1 è quella precedente non si ha una biiezione in quanto ad esempio Φ(5,0,2)=Φ(5,0,1) essendo (5,0,2)≠(5,0,1). Giusto?

[dissonance]

Sono molto fastidiose le formule scritte così. Comunque, si, gli estremi degli intervalli di definizione delle coordinate sferiche sono da escludere perché danno quei problemi lì. In pratica non è un grosso guaio, specialmente parlando di integrazione, perché la regione corrispondente ai punti singolari ha misura zero e quindi non contribuisce a nessun integrale.

[paolo.math11]

"dissonance":Sono molto fastidiose le formule scritte così. Comunque, si, gli estremi degli intervalli di definizione delle coordinate sferiche sono da escludere perché danno quei problemi lì. In pratica non è un grosso guaio, specialmente parlando di integrazione, perché la regione corrispondente ai punti singolari ha misura zero e quindi non contribuisce a nessun integrale.

Grazie, in pratica al posto di tutta la frontiera ho considerato 1 punto e 2 semirette di essa che sono ${(0, 0, 0)}$ $uu$ ${(0,+∞)}$ $xx$ ${(0)}$ $xx$ ${(0)}$ $uu$ ${(0,+∞)}$ $xx$ ${(π)}$ $xx$ ${(0)}$ $uu$ all'interno di R1. Invece l'autore ha considerato solo 1 punto che quindi risulta errato.

Mi scuso per le formule