Cambiamento di base di operatori differenziali

[thebest_i_one]

Nel sistema di riferimento cartesiano ortonormale (x,y,z) ho definito un operatore [tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] x , come faccio a trovare la sua espressione in coordinate sferiche?
io ho pensato che [tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] x si trasforma in maniera controvariante rispetto al cambiamento di base, per cui se la base del sistema di riferimento cartesiano ortonormale (x,y,z) la chiamo (ei) e la base nel sis. di rif. coordinate sferiche (e'i) allora
e'i = J(ij) ej
dove J è la matrice iacobiana
allora
[tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] x [tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] r
[tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] y = J(-1) . [tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] theta
[tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] z [tex]\partial[/tex] / [tex]\partial[/tex] fi

scusate ma per J(-1) intendo l'inversa
ringrazio anticipatamente ogni eventuale risposta

[thebest_i_one]

scusate intendevo scrivere
[tex]\partial / \partial[/tex] x ____________[tex]\partial / \partial r[/tex]
[tex]\partial / \partial[/tex] y = J(-1) ._____[tex]\partial / \partial theta[/tex]
[tex]\partial / \partial[/tex] z______________ [tex]\partial / \partial fi[/tex]

(prodotto righe per colonne)

[thebest_i_one]

cerco di nuovo di scrivere meglio sperando in una risposta
$\nabla$ =$J^-1$ $\bar \nabla$$

dove
$\nabla$ = $\partial/(\partialx)$ ,$\partial/(\partialy)$ ,$\partial/(\partialz)$
$\bar \nabla$$ = $$\partial/(\partial r)$$ , $$\partial/(\partial \theta)$$ , $$\partial/(\partial \phi)$$