Cambiamento ammissibile di parametri (superfici).
Salve, sto studiando per l'esame di analisi II e mi sono "inceppato" su una cosa strana e forse stupida. Nel capitolo del Marcellini Sbordone dedicato alle superfici a un certo punto parla del legame che intercorre fra i vettori normali alla superficie a seconda della parametrizzazione scelta (dopo posto in formule cosa intendo) e, in un primo momento, dà la seguente relazione:
(1) $(del\psi)/(del\rho)^^(del\psi)/(del\theta)= J_\Phi(del\phi)/(delx)^^(del\phi)/(del\y)$
Dove $(J_\Phi)$ rappresenta il determinante della matrice jacobiana della trasformazione. Successivamente, la stessa relazione, la riporta per i versori, concludendo che la diversa scelta del parametri può portare a due differenti versi per ogni vettore del campo dei vettori normali e quindi a due diverse classi di equivalenza che sono in pratica l'orientazione della superficie. La mia confusione nasce innanzitutto dal fatto che non capisco perché questa cosa non dovrebbe emergere già dalla relazione (1), ma emerge invece solo quando si parla di versori. E' possibile che l'autore, in un primo momento, non volesse ancora mettere in luce la possibilità che il segno del determinante jacobiano ci dia informazioni sull'orientazione? Il secondo problema invece nasce quando ho provato a fare un esempio: Ho scelto come superficie un cono e le due diverse parametrizzazioni e la trasformazione:
$\phi:$ $\{(x=x),(y=y),(z=sqrt(x^2+y^2)):}$ $\psi:$ $\{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sen\theta),(z=\rho):}$
$\Phi{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sen\theta):}$
Matrice jacobiana:
$((\cos\theta,\sen\theta),(-\rho\sen\theta,\rho\cos\theta))$
determinante: $\rho\cos^2\theta-(-\rho\sen^2\theta)=\rho$
Il determinante Jacobiano mi viene essere \rho (positivo!), mentre i vettori tangenti alla superficie (non so se hanno un nome specifico), che si ottengono derivando le componenti della superficie rispetto ai parametri, risultano essere:
$\phi_x=(1,0,x/sqrt(x^2+y^2))$ ; $\psi_\rho=(\cos\theta,\sen\theta,1))$
$\phi_y=(0,1,y/sqrt(x^2+y^2))$ ; $\psi_\theta=(-\rho\sen\theta,\rho\cos\theta,0))$
Andando a graficare i 4 vettori in $(1,\pi/2)$ ottengo che due sono coincidenti e due di segno opposto. Effettuando il prodotto vettoriale, fra i rispettivi vettori della prametrizzazione, ottengo due vettori (normali alla superficie) concordi in verso, come mi aspettavo dal segno del determinante, ma se effettuo i conti trovo:
$(del\psi)/(del\rho)^^(del\psi)/(del\theta)= J_\Phi(del\phi)/(delx)^^(del\phi)/(del\y)$
$iff$ $(\rho\cos\theta,\rho\sen\theta,\rho)=\rho((-\rho\cos\theta)/(\rho),(-\rho\sen\theta)/(\rho),1)$
Dove ho usato le equazioni di trasformazione al secondo membro.
Ma così non ha senso e non capisco cosa sto sbagliando!
Spero di non aver fatto errori stupidi o plateali e di aver rispettato le regole per postare correttamente, grazie in anticipo a chiunque risponderà e a tutti voi che lavorate per far funzionare questo forum!
EDIT
Stamattina a mente fresca ho trovato l'errore: in $\psi_\theta$ c'era un segno meno sbagliato e il prodotto vettoriale alla fine mi dà:
$(-\rho\cos\theta,-\rho\sen\theta,\rho)=\rho((-\rho\cos\theta)/(\rho),(-\rho\sen\theta)/(\rho),1)$
Comunque mi rimane ancora il dubbio riguardo l'orientazione. Se il determinante della matrice jacobiana è positivo posso affermare che l'orientazione è la stessa in entrambe le parametrizzazioni?
Mi sono appena accorto che $\phi$ non è una superficie regolare poiché non è derivabile in (0,0).
(1) $(del\psi)/(del\rho)^^(del\psi)/(del\theta)= J_\Phi(del\phi)/(delx)^^(del\phi)/(del\y)$
Dove $(J_\Phi)$ rappresenta il determinante della matrice jacobiana della trasformazione. Successivamente, la stessa relazione, la riporta per i versori, concludendo che la diversa scelta del parametri può portare a due differenti versi per ogni vettore del campo dei vettori normali e quindi a due diverse classi di equivalenza che sono in pratica l'orientazione della superficie. La mia confusione nasce innanzitutto dal fatto che non capisco perché questa cosa non dovrebbe emergere già dalla relazione (1), ma emerge invece solo quando si parla di versori. E' possibile che l'autore, in un primo momento, non volesse ancora mettere in luce la possibilità che il segno del determinante jacobiano ci dia informazioni sull'orientazione? Il secondo problema invece nasce quando ho provato a fare un esempio: Ho scelto come superficie un cono e le due diverse parametrizzazioni e la trasformazione:
$\phi:$ $\{(x=x),(y=y),(z=sqrt(x^2+y^2)):}$ $\psi:$ $\{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sen\theta),(z=\rho):}$
$\Phi{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sen\theta):}$
Matrice jacobiana:
$((\cos\theta,\sen\theta),(-\rho\sen\theta,\rho\cos\theta))$
determinante: $\rho\cos^2\theta-(-\rho\sen^2\theta)=\rho$
Il determinante Jacobiano mi viene essere \rho (positivo!), mentre i vettori tangenti alla superficie (non so se hanno un nome specifico), che si ottengono derivando le componenti della superficie rispetto ai parametri, risultano essere:
$\phi_x=(1,0,x/sqrt(x^2+y^2))$ ; $\psi_\rho=(\cos\theta,\sen\theta,1))$
$\phi_y=(0,1,y/sqrt(x^2+y^2))$ ; $\psi_\theta=(-\rho\sen\theta,\rho\cos\theta,0))$
Andando a graficare i 4 vettori in $(1,\pi/2)$ ottengo che due sono coincidenti e due di segno opposto. Effettuando il prodotto vettoriale, fra i rispettivi vettori della prametrizzazione, ottengo due vettori (normali alla superficie) concordi in verso, come mi aspettavo dal segno del determinante, ma se effettuo i conti trovo:
$(del\psi)/(del\rho)^^(del\psi)/(del\theta)= J_\Phi(del\phi)/(delx)^^(del\phi)/(del\y)$
$iff$ $(\rho\cos\theta,\rho\sen\theta,\rho)=\rho((-\rho\cos\theta)/(\rho),(-\rho\sen\theta)/(\rho),1)$
Dove ho usato le equazioni di trasformazione al secondo membro.
Ma così non ha senso e non capisco cosa sto sbagliando!
Spero di non aver fatto errori stupidi o plateali e di aver rispettato le regole per postare correttamente, grazie in anticipo a chiunque risponderà e a tutti voi che lavorate per far funzionare questo forum!
EDIT
Stamattina a mente fresca ho trovato l'errore: in $\psi_\theta$ c'era un segno meno sbagliato e il prodotto vettoriale alla fine mi dà:
$(-\rho\cos\theta,-\rho\sen\theta,\rho)=\rho((-\rho\cos\theta)/(\rho),(-\rho\sen\theta)/(\rho),1)$
Comunque mi rimane ancora il dubbio riguardo l'orientazione. Se il determinante della matrice jacobiana è positivo posso affermare che l'orientazione è la stessa in entrambe le parametrizzazioni?
Mi sono appena accorto che $\phi$ non è una superficie regolare poiché non è derivabile in (0,0).
Risposte
Hai fatto bene a farti questo esempio giocattolo. Che non sia regolare in un punto non fa niente, considera la superficie regolare ottenuta togliendolo. Quanto ai versori o non versori, ai fini dell'orientabilità non ti serve a nulla la lunghezza di un vettore normale: l'importante è che non si annulli (Infatti, quello di orientabilità è un discorso che puoi fare molto prima di avere definito una lunghezza - ma qui entriamo nel campo della geometria differenziale).
Per un esempio giocattolo ancora più facile, io considererei due parametrizzazioni opposte del piano $z=0$, come per esempio
\[
\begin{cases}
X=x \\ Y=y \\ Z=0 \end{cases}
\]
e
\[
\begin{cases}
X=-\xi \\
Y=\eta \\
Z=0
\end{cases}\]
Qui si vede proprio bene come il vettore normale ottenuto nelle coordinate $(x, y)$ ha segno opposto rispetto a quello delle coordinate $(\xi, \eta)$.
Per un esempio giocattolo ancora più facile, io considererei due parametrizzazioni opposte del piano $z=0$, come per esempio
\[
\begin{cases}
X=x \\ Y=y \\ Z=0 \end{cases}
\]
e
\[
\begin{cases}
X=-\xi \\
Y=\eta \\
Z=0
\end{cases}\]
Qui si vede proprio bene come il vettore normale ottenuto nelle coordinate $(x, y)$ ha segno opposto rispetto a quello delle coordinate $(\xi, \eta)$.
Okay e quindi il libro avrebbe dovuto mettermi da subito in guardi riguardo il fatto che, non appena considero i vettori/versori normali, a seconda della parametrizzazione, posso ottenere due orientazioni diverse (e quindi due classi di equivalenza). E posso quindi aspettarmi che un determinante jacobiano negativo sia indice di un "campo vettoriale con verso opposto"?
Posso chiederti consiglio su qualche altro libro da consultare? Purtroppo il mio professore consiglia il Marcellini-Sbordone che segue abbastanza fedelmente e nel programma sono riportati i singoli paragrafi da fare, ma vorrei qualche altro spunto di riflessione possibilmente tramite un testo che non si discosti troppo nell'impostazione. Principalmente vorrei esempi e qualche approfondimento, magari sulle forme differenziali...ho dato un'occhiata al Giusti (forse versione post-riforma) ma non è abbastanza approfondito e mancano alcune cose... Per analisi uno ho utilizzato il volume di Ermanno Lanconelli (eccezionale), Pagani Salsa e De Marco, ma ora non ho la disponibilità economica per comprare altri libri e non trovo i pdf (so che non si fa
). Ho visto anche le superfici sul Do Carmo e segue un approccio molto diverso, chiaro e interessante, ma non posso indugiare oltre sull'argomento che il tempo stringe.
P.S. è normale che tutto ciò che si fa in analisi II quando lo faccio in fisica mi risulta più semplice? Per esempio quando andavano a fare gli integrali multipli in fisica I e II, sceglievo il mio elementino dV di volume o dS, in coordinate sferiche, cilindriche o cartesiane, senza farmi tremila "pippe" con lo jacobiano ecc...e mi trovavo sempre a tutto, fortuna?
So benissimo che i matematici avranno un infarto leggendo questa cosa, beh sappiate che semplifico anche i differenziali come se fossero quantità qualsiasi!
Un' ultima domanda se posso...c'è un collegamento fra la prima forma fondamentale e il determinante Jacobiano?
Posso chiederti consiglio su qualche altro libro da consultare? Purtroppo il mio professore consiglia il Marcellini-Sbordone che segue abbastanza fedelmente e nel programma sono riportati i singoli paragrafi da fare, ma vorrei qualche altro spunto di riflessione possibilmente tramite un testo che non si discosti troppo nell'impostazione. Principalmente vorrei esempi e qualche approfondimento, magari sulle forme differenziali...ho dato un'occhiata al Giusti (forse versione post-riforma) ma non è abbastanza approfondito e mancano alcune cose... Per analisi uno ho utilizzato il volume di Ermanno Lanconelli (eccezionale), Pagani Salsa e De Marco, ma ora non ho la disponibilità economica per comprare altri libri e non trovo i pdf (so che non si fa
). Ho visto anche le superfici sul Do Carmo e segue un approccio molto diverso, chiaro e interessante, ma non posso indugiare oltre sull'argomento che il tempo stringe.P.S. è normale che tutto ciò che si fa in analisi II quando lo faccio in fisica mi risulta più semplice? Per esempio quando andavano a fare gli integrali multipli in fisica I e II, sceglievo il mio elementino dV di volume o dS, in coordinate sferiche, cilindriche o cartesiane, senza farmi tremila "pippe" con lo jacobiano ecc...e mi trovavo sempre a tutto, fortuna?
So benissimo che i matematici avranno un infarto leggendo questa cosa, beh sappiate che semplifico anche i differenziali come se fossero quantità qualsiasi!
Un' ultima domanda se posso...c'è un collegamento fra la prima forma fondamentale e il determinante Jacobiano?
Ho altre due domande, non so se dovrei aprire un nuovo topic o se posso farle qui, comunque.
1) E' davvero necessario definire una superficie regolare su un dominio connesso? dove per dominio connesso intendo un unione di un insieme e della sua chiusura, non esprimibile come insieme disgiunto di insiemi non vuoti. Cosa succede se definisco la superficie su un insieme non connesso? Magari che sia unione a sua volta di insiemi connessi?
2) le caratteristiche richieste alla trasformazione in un cambiamento ammissibile di parametro sono che sia una funzione continua, invertibile (nell'insieme su cui è definita privato della sua frontiera), con inversa continua. Quindi in pratica se ho ben capito è un omeomorfismo fra i due insiemi. Questo mi permette di preservare le caratteristiche topologiche dell'insieme di partenza giusto? E quindi anche la connessione . In questo modo sui due insiemi posso definire due applicazioni (superfici) che si diranno equivalenti se:
$\psi : T \rarr RR^3$ $ ~~$ $\phi : D \rarr RR^3 iff \psi=\phi(\Phi)$ $oppure$ $\phi=\psi(\Phi^-1)$ $con$ $\Phi : T \rarr D$ omeomorfismo
Se richiedo quindi ipotesi meno restrittive in pratica non posso "passare" dall'una all'altra rappresentazione parametrica?
1) E' davvero necessario definire una superficie regolare su un dominio connesso? dove per dominio connesso intendo un unione di un insieme e della sua chiusura, non esprimibile come insieme disgiunto di insiemi non vuoti. Cosa succede se definisco la superficie su un insieme non connesso? Magari che sia unione a sua volta di insiemi connessi?
2) le caratteristiche richieste alla trasformazione in un cambiamento ammissibile di parametro sono che sia una funzione continua, invertibile (nell'insieme su cui è definita privato della sua frontiera), con inversa continua. Quindi in pratica se ho ben capito è un omeomorfismo fra i due insiemi. Questo mi permette di preservare le caratteristiche topologiche dell'insieme di partenza giusto? E quindi anche la connessione . In questo modo sui due insiemi posso definire due applicazioni (superfici) che si diranno equivalenti se:
$\psi : T \rarr RR^3$ $ ~~$ $\phi : D \rarr RR^3 iff \psi=\phi(\Phi)$ $oppure$ $\phi=\psi(\Phi^-1)$ $con$ $\Phi : T \rarr D$ omeomorfismo
Se richiedo quindi ipotesi meno restrittive in pratica non posso "passare" dall'una all'altra rappresentazione parametrica?
Io lascerei perdere per il momento, torna sull'argomento nel contesto della geometria differenziale. Fermo restando che:
è normale che tutto ciò che si fa in analisi II quando lo faccio in fisica mi risulta più semplice? Per esempio quando andavano a fare gli integrali multipli in fisica I e II, sceglievo il mio elementino dV di volume o dS, in coordinate sferiche, cilindriche o cartesiane, senza farmi tremila "pippe" con lo jacobiano ecc...e mi trovavo sempre a tutto, fortuna?Tutti fanno così, anche i matematici. Altrimenti non si vivrebbe più. Però è importante che, all'occorrenza, uno deve essere in grado di scrivere i calcoli fatti in maniera rigorosa. Come si dice nella letteratura anglosassone, "the devil lies in the details", e a volte l'unico modo per riconoscere gli errori è proprio quello di riscrivere bene tutti i dettagli.
So benissimo che i matematici avranno un infarto leggendo questa cosa, beh sappiate che semplifico anche i differenziali come se fossero quantità qualsiasi!
Grazie per le risposte!
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