Cambiamenti di coordinate vantaggiosi per integrale doppio

[feddy]

Ciao a tutti,

sono alle prese con il seguente integrale

$ int int_(Omega)(x^2-y^2)*log(1+(x+y)^4) dx dy $

con dominio $Omega={(x,y) in RR^2| x>0, 0

Il cambiamento di coordinate che mi è apparso più evidente è stato:

$ { ( u=x+y ),( v=x-y ):} $

Da cui

$ { ( x=(u+v)/2 ),( y=(u-v)/2 ):} $

Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è $1/2$.

L'integrale diventa quindi:

$ int int(vu)/2*log(1+v^4) dv du $

. Non so però come gestire gli estremi.

Quindi ho disegnato il dominio $Omega$ rispetto alle coordinate $x,y$ ed è un triangolo rettangolo che giace nel primo quadrante.

Conoscendo le intersezioni con gli assi, mi sono ricavato le coordinate di $u$ e $v$. So per esempio che l'intersezione con l'asse delle ascisse è nel punto $(2,0)$.
Da qui tramite la relazione che lega $x,y$ a $u,v$ ho ricavato i valori di $u$ e $v$ e li ho disegnati in uno stesso grafico.

Trovo un triangolo con vertici nel piano $v,u$: $(0,0)$,$(2,2)$,$(2,-2)$.

Noto che:

1. Il dominio è simmetrico rispetto al vecchio asse $y$, che ora è $u$.
2. La funzione è dispari rispetto alla vecchia variabile $x$, cioè $v$. $f(-v,u)=-f(v,u)$.
[/list:u:tbye0pon]

Quindi l'integrale è $0$.

E' corretto ? Grazie mille per l'attenzione

[feddy]

Grazie TeM per la risposta. Ormai il concetto mi era entrato, ma fa sempre piacere ricevere una conferma, specie se così ben fatta