Calcolo zeri di una Funzione
Ciao, ho problemi a calcolare gli zeri di una funzione,
dal teorema di esistenza degli zeri so che se $f(x)$ è continua e definita in $[a,b]$ e si verifica che $f(a) * f(b) < 0$ allora $f(x)=0$ ammette almeno una soluzione.
Prendendo questo esercizio (di cui non conosco il risultato):
determinare il numero di zeri di $f(x) = e^(sinx) -sinx-1$ nell'intervallo $[0,2pi]$
non so come svolgerlo; inizio eguagliando la funzione a zero ma poi come procedere per trovare le soluzioni? mica è una normale equazione
spero in qualche suggerimento
, grazie.
dal teorema di esistenza degli zeri so che se $f(x)$ è continua e definita in $[a,b]$ e si verifica che $f(a) * f(b) < 0$ allora $f(x)=0$ ammette almeno una soluzione.
Prendendo questo esercizio (di cui non conosco il risultato):
determinare il numero di zeri di $f(x) = e^(sinx) -sinx-1$ nell'intervallo $[0,2pi]$
non so come svolgerlo; inizio eguagliando la funzione a zero ma poi come procedere per trovare le soluzioni? mica è una normale equazione
spero in qualche suggerimento
, grazie.
Risposte
Derivando trovi $f'(x) = cos(x) * e^(sin(x)) - cos(x) = cos(x) ( e^(sin(x)) - 1 )$ ...
Prova a vedere cosa ti viene fuori studiando il segno della derivata prima.
Prova a vedere cosa ti viene fuori studiando il segno della derivata prima.
Mi intrometto, se permettete, per chiedere alcuni chiarimenti, non strettamente legati al problema in esame.
A me sembra di aver capito così: se il prodotto $f(a) f(b)$ è minore di zero, vuol dire che è negativo e dunque che i due fattori sono discordi, cioè uno positivo e l'altro negativo. Dunque se la funzione è definita e continua nell'intervallo a,b allora deve incontrare almento una volta l'asse delle ascisse. Poi mi è venuto da pensare... o perlomeno un numero dispari di volte, ma questa seconda affermazione non mi convice completamente: ho immaginato una funzione che "taglia" una volta l'asse x, e "tocca" (con un punto di massimo o di minimo) una seconda volta l'asse delle x senza attraversarlo. In questo caso gli zeri sono in numero pari oppure il punto di tangenza va considerato come due punti coincidenti?
E' solo curiosità. Se sono stata importuna, scusatemi.
A me sembra di aver capito così: se il prodotto $f(a) f(b)$ è minore di zero, vuol dire che è negativo e dunque che i due fattori sono discordi, cioè uno positivo e l'altro negativo. Dunque se la funzione è definita e continua nell'intervallo a,b allora deve incontrare almento una volta l'asse delle ascisse. Poi mi è venuto da pensare... o perlomeno un numero dispari di volte, ma questa seconda affermazione non mi convice completamente: ho immaginato una funzione che "taglia" una volta l'asse x, e "tocca" (con un punto di massimo o di minimo) una seconda volta l'asse delle x senza attraversarlo. In questo caso gli zeri sono in numero pari oppure il punto di tangenza va considerato come due punti coincidenti?
E' solo curiosità. Se sono stata importuna, scusatemi.
Ti ricordo che comunque l'intervallo deve essere $[a,b]$ chiuso (puoi trovare un controesempio molto facilmente nel caso in cui la funzione sia discontinua in uno dei due estremi).
Comunque, rispondendo alla tua domanda, si considera come unico zero.
Comunque, rispondendo alla tua domanda, si considera come unico zero.
Grazie per la precisazione e per la risposta. Complimenti per la velocità!
"Seneca":
Derivando trovi $f'(x) = cos(x) * e^(sin(x)) - cos(x) = cos(x) ( e^(sin(x)) - 1 )$ ...
Prova a vedere cosa ti viene fuori studiando il segno della derivata prima.
Grazie per aver risposto,
la funzione $cos x$ si annulla (all'interno dell'intervallo) nei valori $pi/2$ e $3/2 pi$,
invece la funzione $e^x$ è sempre positiva.
Quindi posso dire che gli zeri della funzione di partenza sono $pi/2$ e $3/2 pi$?
mi sembra troppo semplice per essere corretto
edit: visualizzando per verifica il grafico con wolfram sembra proprio che gli zeri sono solo questi due (nell'intervallo preso in esame).
Si può anche osservare che la funzione \( g(t) := e^t-1-t\) è sempre \( \geq 0\) e si annulla solo nell'origine.
Di conseguenza, \(f(x) := g(\sin x) \) si annulla esattamente in quei punti dove \( \sin x = 0\).
Di conseguenza, \(f(x) := g(\sin x) \) si annulla esattamente in quei punti dove \( \sin x = 0\).
"Rigel":
Si può anche osservare che la funzione \( g(t) := e^t-1-t\) è sempre \( \geq 0\) e si annulla solo nell'origine.
Di conseguenza, \(f(x) := g(\sin x) \) si annulla esattamente in quei punti dove \( \sin x = 0\).
quindi gli zeri sono $pi$ e $2pi$
Ho capito il procedimento, Grazie Mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo