Calcolo variazioni

[Dani1604]

ciao, posso chiedervi un aiuto?
non ho mai seguito un corso sul calcolo delle variazioni perciò la mia domanda risulterà banale...
cerco informazioni circa esistenza di soluzioni per problemi in cui le funzioni in gioco siano sufficientemente regolari, e magari una spigazione sul tipo di regolarità richiesto... grazie

[gugo82]

Beh, potresti buttare un occhio su qualche libro.
Un testo che contiene la teoria "classica" (tutto con funzioni continue o continue a tratti) è Troutman, Variational Calculus and Optimal Control, Springer; ma ci sono molti altri testi (di solito più vecchi) che puoi consultare: ad esempio, Carathéodory, Gelfand-Fomin, Sagan, Weinstock... Li dovresti trovare pressoché tutti nella biblioteca di un qualsiasi dipartimento di Matematica.

Se vuoi un po' di teoria più moderna e basata sui "metodi diretti" puoi consultare l'agilissimo Dacorogna, Introduction to Calculus of Variations; anche questo dovresti poterlo reperire in biblioteca.

Per entrare nel merito della questione da te posta, faccio notare che per il tipico problema di CdV unidimensionale:

[tex]$\min \left\{ \int_a^b f(x,u(x),u^\prime (x)) \ \tetx{d} x, \text{ con } u\in X\right\}$[/tex]

(ove [tex]$a
Insomma, tra regolarità degli integrandi ed esistenza delle soluzioni non c'è legame; a tal proposito, riporto in spoiler un esempio che credo classico.

Consideriamo il problema:

[tex]$\min \left\{ \int_0^1 e^{-[u^\prime (x)]^2} \ \text{d} x,\ \text{ con } u\in C^1([0,1]) \text{ e } u(0)=0=u(1)\right}$[/tex]

in cui si chiede di minimizzare il funzionale [tex]$\mathcal{I} :=\int_0^1 e^{-[u^\prime (x)]^2} \ \text{d} x$[/tex] nella classe delle funzioni [tex]$C^1$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] nulle negli estremi dell'intervallo; posto [tex]$X:=\{ u \in C^1([0,1]):\ u(0)=0=u(1)\}$[/tex], il problema può essere scritto come segue:

[tex]$\min_{u\in X} \mathcal{I} $[/tex]

L'integrando [tex]$f(x,u,\xi):=e^{-\xi^2}$[/tex] è [tex]$>0$[/tex], quindi si ha [tex]$\mathcal{I} \geq 0$[/tex] per ogni [tex]$u\in X$[/tex]; perciò [tex]$\inf \mathcal{I} \geq 0$[/tex].
D'altra parte se, per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], poniamo:

[tex]$u_n(x):= n\left( x-\frac{1}{2} \right)^2- \frac{n}{4}$[/tex]

abbiamo [tex]$u_n\in X$[/tex] ed anche:

[tex]$u_n^\prime (x)=2n\left( x-\frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow$[/tex]

[tex]$\Rightarrow \quad \mathcal{I} =\int_0^1 e^{-4n^2 (x-1/2)^2} \ \text{d} x =\frac{1}{2n} \ \int_{-n}^n e^{-y^2} \ \text{d} y$[/tex] (ho fatto il cambiamento di variabili [tex]$y=2n(x-1/2)$[/tex])

cosicché:

[tex]$\mathcal{I} [u_n]\leq \frac{1}{2n} \ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \ \text{d} y =\frac{\sqrt{\pi}}{2n}$[/tex]

e da ciò segue immediatamente che [tex]$\lim_n \mathcal{I} [u_n]= 0$[/tex]; pertanto è [tex]$\inf_{u\in X} \mathcal{I} =0$[/tex].

Dall'ultima relazione segue immediatamente che [tex]$\mathcal{I} $[/tex] non può aver minimo in [tex]$X$[/tex]: infatti se esistesse un [tex]$\overline{u} \in X$[/tex] tale che [tex]$\mathcal{I} [\overline{u}] =0$[/tex], dovrebbe verificarsi [tex]$e^{-[\overline{u}^\prime (x)]^2} =0$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex], contro il fatto che [tex]$e^{-[\overline{u}^\prime (x)]^2} >0$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] (perchè l'esponenziale non si annulla mai).

Nota bene che l'integrando nell'esempio proposto è [tex]$C^\infty (\mathbb{R}^3)$[/tex] (anzi, è addirittura analitico...) quindi è evidente che tra regolarità dell'integrando ed esistenza del minimo non c'è nesso.

Le proprietà che servono a garantire l'esistenza del minimo sono, sorprendentemente, di tipo geometrico: infatti sono la convessità dell'integrando [tex]$f(x,u,\xi)$[/tex] rispetto a [tex]$\xi$[/tex] (ossia rispetto alla derivata dell'incognita) e la velocità con cui esso cresce all'infinito rispetto alle variabili [tex]$u,\ \xi$[/tex] (ossia rispetto alla funzione incognita ed alla sua derivata) ad essere fondamentali per l'esistenza di una soluzione.
Nota infatti che nell'esempio riportato, l'integrando non è convesso rispetto a [tex]$\xi$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].