Calcolo utilizzando una sommatoria
Buongiorno,
conoscendo la seguente uguaglianza: $frac{1}{x(x+1)} = frac{1}{x} - frac{1}{x+1}$
dovrei riuscire a calcolare la sommatoria $\sum_{x=1}^n frac{1}{x(x+1)} = ?$
Quindi ho pensato di riscriverla così: $\sum_{x=1}^n frac{1}{x} - \sum_{x=1}^n frac{1}{x+1} = ?$, ma non riesco a continuare. Qualche idea?
La soluzione è $frac{n}{n+1}$
Grazie in anticipo
conoscendo la seguente uguaglianza: $frac{1}{x(x+1)} = frac{1}{x} - frac{1}{x+1}$
dovrei riuscire a calcolare la sommatoria $\sum_{x=1}^n frac{1}{x(x+1)} = ?$
Quindi ho pensato di riscriverla così: $\sum_{x=1}^n frac{1}{x} - \sum_{x=1}^n frac{1}{x+1} = ?$, ma non riesco a continuare. Qualche idea?
La soluzione è $frac{n}{n+1}$
Grazie in anticipo
Risposte
E' telescopica. Prova a sviluppare un po' di termini 
Grazie della risposta! 
Fino ad ora non avevo mai sentito parlare di serie telescopiche. Cercando il termine su internet ho trovato proprio la stessa, con il nome "serie di Mengoli".
Comunque, se sviluppo i termini viene:
$sum_{x=1}^n frac{1}{x} - sum_{x=1}^n frac{1}{x+1}= 1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} - frac{1}{n+1}$
Quindi, tutti i termini tranne il primo e l'ultimo si elidono. Pensavo fosse qualcosa da calcolare con "trucchetti" matematici.
$sum_{x=1}^n frac{1}{x} - sum_{x=1}^n frac{1}{x+1}= 1- frac{1}{n+1} = frac{n}{n+1}$
Fino ad ora non avevo mai sentito parlare di serie telescopiche. Cercando il termine su internet ho trovato proprio la stessa, con il nome "serie di Mengoli".Comunque, se sviluppo i termini viene:
$sum_{x=1}^n frac{1}{x} - sum_{x=1}^n frac{1}{x+1}= 1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} - frac{1}{n+1}$
Quindi, tutti i termini tranne il primo e l'ultimo si elidono. Pensavo fosse qualcosa da calcolare con "trucchetti" matematici.
$sum_{x=1}^n frac{1}{x} - sum_{x=1}^n frac{1}{x+1}= 1- frac{1}{n+1} = frac{n}{n+1}$
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