Calcolo utilizzando una sommatoria

Doddo93
Buongiorno,

conoscendo la seguente uguaglianza: $frac{1}{x(x+1)} = frac{1}{x} - frac{1}{x+1}$

dovrei riuscire a calcolare la sommatoria $\sum_{x=1}^n frac{1}{x(x+1)} = ?$


Quindi ho pensato di riscriverla così: $\sum_{x=1}^n frac{1}{x} - \sum_{x=1}^n frac{1}{x+1} = ?$, ma non riesco a continuare. Qualche idea?

La soluzione è $frac{n}{n+1}$

Grazie in anticipo

Risposte
ZetaFunction1
E' telescopica. Prova a sviluppare un po' di termini ;)

Doddo93
Grazie della risposta! :) Fino ad ora non avevo mai sentito parlare di serie telescopiche. Cercando il termine su internet ho trovato proprio la stessa, con il nome "serie di Mengoli".

Comunque, se sviluppo i termini viene:

$sum_{x=1}^n frac{1}{x} - sum_{x=1}^n frac{1}{x+1}= 1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} - frac{1}{n+1}$

Quindi, tutti i termini tranne il primo e l'ultimo si elidono. Pensavo fosse qualcosa da calcolare con "trucchetti" matematici.

$sum_{x=1}^n frac{1}{x} - sum_{x=1}^n frac{1}{x+1}= 1- frac{1}{n+1} = frac{n}{n+1}$

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