Calcolo somma di una serie

[Ale2504]

Ciao, sono bloccato con una serie e non so proprio come uscirne. Devo calcolarne la somma:

$\sum_{n=2}^\infty\frac{4e^{n-1}}{(5e)^n}$ che deve risultare $1/(5e)$

Grazie al testo ho capito che devo in qualche modo ricondurla a qualche sviluppo in serie noto ma non capisco come. In giro non ho trovato esempi simili. Ho provato a farla assomigliare allo sviluppo in serie di $e^x$ ma niente da fare.

Qualche consiglio? Grazie!

[Gi81]

Prima ti chiedo una cosa: quanto fa $sum_(n=2)^(+oo) (1/5)^n$?
(non credere che io sia impazzito , è una cosa che serve per l'esercizio)

[Ale2504]

Io non ne ho idea, wolfram alpha dice $1/20$, abbi pazienza

pero' noto che assomiglia allo sviluppo di $e^x$. Probabilmente sono fuori strada

[Gi81]

Non sai che $sum_(n=0)^(+oo) q^n= 1/(1-q)$ per ogni $q in (-1,1)$? Dimmi che lo sai, ti prego.
Qui $q=1/5$

[Ale2504]

Si giusto, ma il fatto che si parta da 2 anziche' da 0 mi cambia qualcosa?

[Gi81]

Certo che cambia. Ma non troppo: $sum_(n=2)^(+oo) a_n = [sum_(n=0)^(+oo)a_n ] -a_0 - a_1$

[Ale2504]

Perfetto, allora posso risponderti alla domanda di prima, confermo che vale $1/20$. Ora come procedo?

[Gi81]

Ecco, la serie di partenza si trasforma (a meno di costanti moltiplicative) proprio nella serie che ti ho scritto io.
Devi fare qualche trasformazione. Nota che a numeratore hai $e^(n-1)$, mentre a denominatore $e^n$

[Ale2504]

Allora trasformo $\sum_{n=2}^\infty\frac{4e^(n-1)}{(5e)^n}$ in $\sum_{n=2}^\infty\(1/5)^n$ la cui somma e' $1/20$:

$4*\sum_{n=2}^\infty\frac{e^(n-1)}{(5e)^n}$ = $4*\sum_{n=2}^\infty\frac{e^(n)e^(-1)}{(5e)^n}$ = $4/e*\sum_{n=2}^\infty\frac{e^(n)}{(5e)^n}$ = $4/e*\sum_{n=2}^\infty\(frac{e}{5e})^n$ = $4/e*\sum_{n=2}^\infty\(frac{1}{5})^n$ = $4/e*1/20$ = $1/(5e)$

Spero siano giusti i passaggi, Grazie Gi8!

[Gi81]

Sì, va bene