Calcolo somma di successione immaginaria
Si trovi la somma di:
$i - i^6 + i^(11) - i^(16) + ... + i^(51)$
Riscrivo in modo differente:
$ i - [(-1)i^4] + i[(-1)i^8] - [(-1)i^(14)]+...+i[(-1)i^(48)] $
Deduco che: $i^4=i^8=i^(12)=...=i^(48)=1$ e $i^2=i^6=i^10=...=-1$
Per cui semplifico ciò che ho riscritto: $i + 1 - i - 1 + ... -i $, vedo che i primi 4 termini si annullano a vicenda ed essendo $-i$ l'ultimo termine si annullerà con il termine $i$ precedente, mentre il termine $1$ non viene annullato in quanto il termine $-1$ viene dopo $-i$. Quindi la somma: $i + 1 - i - 1 + ... -i = 1.$
E' corretto? Voi come avreste fatto?
$i - i^6 + i^(11) - i^(16) + ... + i^(51)$
Riscrivo in modo differente:
$ i - [(-1)i^4] + i[(-1)i^8] - [(-1)i^(14)]+...+i[(-1)i^(48)] $
Deduco che: $i^4=i^8=i^(12)=...=i^(48)=1$ e $i^2=i^6=i^10=...=-1$
Per cui semplifico ciò che ho riscritto: $i + 1 - i - 1 + ... -i $, vedo che i primi 4 termini si annullano a vicenda ed essendo $-i$ l'ultimo termine si annullerà con il termine $i$ precedente, mentre il termine $1$ non viene annullato in quanto il termine $-1$ viene dopo $-i$. Quindi la somma: $i + 1 - i - 1 + ... -i = 1.$
E' corretto? Voi come avreste fatto?
Risposte
Ciao ingetor,
Il risultato è corretto, ma io avrei fatto diversamente in modo da poter generalizzare il discorso...
In particolare nel caso specifico avrei iniziato raccogliendo $i$:
$i \cdot (1 - i^5 + i^10 - i^15 + ... + i^50) = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k $
Poi mi sarei ricordato che $ \sum_{k = 0}^n x^k = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} $, quindi essendo nel caso in esame $x = - i $ e $n = 10 $ si ha:
$i \cdot (1 - i^5 + i^10 - i^15 + ... + i^50) = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k = i \cdot \frac{1 - (-i)^{11}}{1 + i} = $
$ = i \cdot \frac{1 - i}{1 + i} = i \cdot \frac{(1 - i)^2}{2} = i \cdot \frac{1 - 2i - 1}{2} = i \cdot (- i) = - i^2 = 1 $
"ingetor":
E' corretto? Voi come avreste fatto?
Il risultato è corretto, ma io avrei fatto diversamente in modo da poter generalizzare il discorso...
In particolare nel caso specifico avrei iniziato raccogliendo $i$:
$i \cdot (1 - i^5 + i^10 - i^15 + ... + i^50) = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k $
Poi mi sarei ricordato che $ \sum_{k = 0}^n x^k = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} $, quindi essendo nel caso in esame $x = - i $ e $n = 10 $ si ha:
$i \cdot (1 - i^5 + i^10 - i^15 + ... + i^50) = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k = i \cdot \frac{1 - (-i)^{11}}{1 + i} = $
$ = i \cdot \frac{1 - i}{1 + i} = i \cdot \frac{(1 - i)^2}{2} = i \cdot \frac{1 - 2i - 1}{2} = i \cdot (- i) = - i^2 = 1 $
"pilloeffe":
Ciao ingetor,
[quote="ingetor"]E' corretto? Voi come avreste fatto?
Il risultato è corretto, ma io avrei fatto diversamente in modo da poter generalizzare il discorso...
In particolare nel caso specifico avrei iniziato raccogliendo $i$:
$i \cdot (1 - i^5 + i^10 - i^15 + ... + i^50) = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k $
Poi mi sarei ricordato che $ \sum_{k = 0}^n x^k = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} $, quindi essendo nel caso in esame $x = - i $ e $n = 10 $ si ha:
$i \cdot (1 - i^5 + i^10 - i^15 + ... + i^50) = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k = i \cdot \frac{1 - (-i)^{11}}{1 + i} = $
$ = i \cdot \frac{1 - i}{1 + i} = i \cdot \frac{(1 - i)^2}{2} = i \cdot \frac{1 - 2i - 1}{2} = i \cdot (- i) = - i^2 = 1 $[/quote]
Mi torna tutto tranne il passaggio dove semplifichi $ i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^{5k} = i \cdot \sum_{k = 0}^10 (-i)^k $.
Lo hai preso per scontato perché hai fatto una considerazione tipo la mia che torna lo stesso calcolo oppure è una proprietà delle serie l'equivalenza con e senza il 5 come costante moltiplicativa?
"ingetor":
Lo hai preso per scontato perché hai fatto una considerazione tipo la mia che torna lo stesso calcolo
Non ho capito bene cosa intendi, ma per farla breve si ha:
$(-i)^{5k} = [(-i)^5]^k = [- i \cdot (-i)^4]^k = [- i \cdot 1]^k = (-i)^k $
Le potenze di $i$ sono cicliche di ordine $4$, il che vuol dire che $i^(4k)=1, i^(4k+1)=i, i^(4k+2)=-1, i^(4k+3) = -i$.
Dunque:
$ i - i^6 + i^(11) - i^(16) + ... + i^(51) = i + i^8 + i^(11) + i^(18) + i^(21) + i^(28) + i^(31) + i^(38) + i^(41) + i^(48) + i^(51) = 3 i + 3 - 3i -2 = 1$.
Dunque:
$ i - i^6 + i^(11) - i^(16) + ... + i^(51) = i + i^8 + i^(11) + i^(18) + i^(21) + i^(28) + i^(31) + i^(38) + i^(41) + i^(48) + i^(51) = 3 i + 3 - 3i -2 = 1$.
Tutto chiaro. Grazie a entrambi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo