Calcolo serie
Ho già cercato, ma non ho trovato risposta al mio quesito.
Ho una serie: \(\displaystyle \sum ( \frac{2}{ \pi (2h+1)} - \frac{8}{( \pi (2h+1))^3} )(-1)^h \)
da h=0 a + infinito. Le dispense dicono che la soluzione è 1\4, ma quali sono i passaggi?
Io avevo pensato di scriverlo così:
\(\displaystyle \sum ( \frac{2}{ \pi (2h+1)})(-1)^h - \sum ( \frac{8}{( \pi (2h+1))^3})(-1)^h \)
e poi?
Ho una serie: \(\displaystyle \sum ( \frac{2}{ \pi (2h+1)} - \frac{8}{( \pi (2h+1))^3} )(-1)^h \)
da h=0 a + infinito. Le dispense dicono che la soluzione è 1\4, ma quali sono i passaggi?
Io avevo pensato di scriverlo così:
\(\displaystyle \sum ( \frac{2}{ \pi (2h+1)})(-1)^h - \sum ( \frac{8}{( \pi (2h+1))^3})(-1)^h \)
e poi?
Risposte
la serie $sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n/{2h+1}$ rappresenta lo sviluppo di in serie di Maclaurin della funzione $arctan x$ calcolato in $x=1$ e quindi converge a $arctan 1=pi/4$ allora riguardo la prima parte della serie si ha $sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n 2/{pi(2h+1)}=2/pi sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n/{2h+1}=1/2$.
Per quanto riguarda l'altra si può provare che $sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n/{2h+1}=pi^3/32$ quindi per la seconda parte si ha $sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n 8/{pi^3(2h+1)^3}=8/pi^3 sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n/{2h+1}=1/4$. Allora la somma di tutta la serie è $1/2-1/4=1/4$
Per quanto riguarda l'altra si può provare che $sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n/{2h+1}=pi^3/32$ quindi per la seconda parte si ha $sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n 8/{pi^3(2h+1)^3}=8/pi^3 sum_{h=0}^{+infty}(-1)^n/{2h+1}=1/4$. Allora la somma di tutta la serie è $1/2-1/4=1/4$
@Laura
Mmmmhhh..ho la sensazione che sotto l'uguaglianza $sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=pi/32$ (1) ci siano argomentazioni molto interessanti;
avevo provato "basic"
(un'equaz. differenziale del secondo ordine deducibile,con condizioni iniziali annesse,
grazie all'uniforme convergenza ad arctgx dello sviluppo in serie di tal funzione che hai richiamato..
ma è stato come passare dalla padella alla brace,anche se a primo acchitto pareva innocua,perchè gli integrali non erano elementarmente calcolabili),
e poi con le serie formali di Laurent e qualche tentativo sfruttando l'integrazione complessa:
forse sbaglio l'approccio(d'altronde ce l'ho indietro nella memoria,ed anzi grazie per gli spunti di ripasso..),
ma non arrivo mai neanche vicino a quanto congetturo(ossia che $sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)^3)=(arctgx)/((x+1)^3)$..),
nè quanto meno a qualcosa che possa essermi altrettanto utile ai fini della verifica della (1)!!
Fà(fate..)un fischio,se ne vuoi parlare:
saluti dal web.
Mmmmhhh..ho la sensazione che sotto l'uguaglianza $sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=pi/32$ (1) ci siano argomentazioni molto interessanti;
avevo provato "basic"
(un'equaz. differenziale del secondo ordine deducibile,con condizioni iniziali annesse,
grazie all'uniforme convergenza ad arctgx dello sviluppo in serie di tal funzione che hai richiamato..
ma è stato come passare dalla padella alla brace,anche se a primo acchitto pareva innocua,perchè gli integrali non erano elementarmente calcolabili),
e poi con le serie formali di Laurent e qualche tentativo sfruttando l'integrazione complessa:
forse sbaglio l'approccio(d'altronde ce l'ho indietro nella memoria,ed anzi grazie per gli spunti di ripasso..),
ma non arrivo mai neanche vicino a quanto congetturo(ossia che $sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)^3)=(arctgx)/((x+1)^3)$..),
nè quanto meno a qualcosa che possa essermi altrettanto utile ai fini della verifica della (1)!!
Fà(fate..)un fischio,se ne vuoi parlare:
saluti dal web.
"theras":
@Laura
Mmmmhhh..ho la sensazione che sotto l'uguaglianza $sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=pi^3/32$ (1) ci siano argomentazioni molto interessanti;
Ci provo io
$sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=sum_(nin2NN)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)+sum_(nin2NN+1)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)$
$sum_(nin2NN)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=sum_(n=0)^(+oo)((-1)^(2n))/((4n+1)^3)=1/64*sum_(n=0)^(+oo) 1/(n+1/4)^3= 1/64 zeta(3,1/4)$
$sum_(nin2NN+1)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=sum_(n=0)^(+oo)((-1)^(2n+1))/((2*[2n+1]+1)^3)=sum_(n=0)^(+oo)(-1)/((4n+3)^3)=-1/64 zeta(3,3/4)$
Quindi:
$sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=1/64 zeta(3,1/4)-1/64 zeta(3,3/4)=1/64*[zeta(3,1/4)-zeta(3,3/4)]$
Scriviamo la funzione zeta di Hurwitz attraverso quella di Riemann:
$zeta(3,1/4)=pi^3+28 zeta(3)$
$zeta(3,-3/4)=-pi^3+28 zeta(3)$
Perciò:
$sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/((2n+1)^3)=1/64*[2pi^3]=pi^3/32$
Ci provo anch'io.
Considero la funzione di variabile complessa
\( \displaystyle f(z)=\frac{1}{(2z+1)^3\sin(\pi z)}=\frac{1}{8 \left (z+\frac{1}{2}\right)^3 \sin(\pi z)}\)
Ci sono poli semplici nei punti \( n=0, \pm 1, \pm 2\cdots\)
I residui in questi poli sono:
\(\displaystyle Res(f,n) = \underset{z \rightarrow n}{\lim}(z-n)f(z)=\frac{(-1)^n}{\pi (2n+1)^3}\)
Abbiamo un polo di ordine tre in \( z=-\frac{1}{2}\)
Per calcolare il residuo scrivo(per evitare derivate complicate):
\( \displaystyle \frac{1}{\sin(\pi z)}=a_0+a_1\left(z-\frac{1}{2}\right)+a_2\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\cdots\)
Facendo il limite per \(\displaystyle z \rightarrow -\frac{1}{2} \) otteniamo \( \displaystyle a_0=-1\)
Derivando ambo i membri:
\( \displaystyle -\frac{\pi \cos(\pi z)}{\sin^2(\pi z)}=a_1+2 a_2 \left( z+\frac{1}{2}\right)+\cdots\) da cui facendo il limite \( \displaystyle a_1=0\)
Quindi
\( \displaystyle \frac{1}{\sin(\pi z)}=-1+a_2\left( a+\frac{1}{2}\right)^2+\cdots\) da cui:
\( \displaystyle a_2 = \underset{z \rightarrow -\frac{1}{2}}{lim} \frac{1+\frac{1}{\sin(\pi z)}}{\left( z+\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{\pi^2}{2}\)
e quindi
\(\displaystyle Res(f,-\frac{1}{2})=-\frac{\pi^2}{16} \)
Sin \(\displaystyle N \) e \( \displaystyle R_N\) il rettangolo di vertici \( \left(N+\frac{1}{2}\right)(-1+i) ,\left(N+\frac{1}{2}\right)(1+i),\left(N+\frac{1}{2}\right)(1-i),\left(N+\frac{1}{2}\right)(-1-i)\)
Risulta \( \displaystyle \underset{N \rightarrow \infty}{lim}\oint_{R_N}f(z) dz=0\) (Considerazioni standard sul modulo della funzione)
Applicando il teorema dei residui:
\( \displaystyle \oint_{R_N}f(z) dz=2 \pi i \left( -\frac{\pi^2}{16}+\frac{1}{\pi}+\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 \pi}+\sum_{n=-1}^{-N}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 \pi}\right)\)
dopo semplici manipolazioni:
\( \displaystyle \oint_{R_N}f(z) dz=2 \pi i \left( \frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 }+\frac{(-1)^N}{(2N+1)^3\pi}-\frac{\pi^2}{16}\right)\)
Passando al limite per \( \displaystyle N \rightarrow \infty \) otteniamo infine
\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 }=\frac{\pi^3}{32}\)
Considero la funzione di variabile complessa
\( \displaystyle f(z)=\frac{1}{(2z+1)^3\sin(\pi z)}=\frac{1}{8 \left (z+\frac{1}{2}\right)^3 \sin(\pi z)}\)
Ci sono poli semplici nei punti \( n=0, \pm 1, \pm 2\cdots\)
I residui in questi poli sono:
\(\displaystyle Res(f,n) = \underset{z \rightarrow n}{\lim}(z-n)f(z)=\frac{(-1)^n}{\pi (2n+1)^3}\)
Abbiamo un polo di ordine tre in \( z=-\frac{1}{2}\)
Per calcolare il residuo scrivo(per evitare derivate complicate):
\( \displaystyle \frac{1}{\sin(\pi z)}=a_0+a_1\left(z-\frac{1}{2}\right)+a_2\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\cdots\)
Facendo il limite per \(\displaystyle z \rightarrow -\frac{1}{2} \) otteniamo \( \displaystyle a_0=-1\)
Derivando ambo i membri:
\( \displaystyle -\frac{\pi \cos(\pi z)}{\sin^2(\pi z)}=a_1+2 a_2 \left( z+\frac{1}{2}\right)+\cdots\) da cui facendo il limite \( \displaystyle a_1=0\)
Quindi
\( \displaystyle \frac{1}{\sin(\pi z)}=-1+a_2\left( a+\frac{1}{2}\right)^2+\cdots\) da cui:
\( \displaystyle a_2 = \underset{z \rightarrow -\frac{1}{2}}{lim} \frac{1+\frac{1}{\sin(\pi z)}}{\left( z+\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{\pi^2}{2}\)
e quindi
\(\displaystyle Res(f,-\frac{1}{2})=-\frac{\pi^2}{16} \)
Sin \(\displaystyle N \) e \( \displaystyle R_N\) il rettangolo di vertici \( \left(N+\frac{1}{2}\right)(-1+i) ,\left(N+\frac{1}{2}\right)(1+i),\left(N+\frac{1}{2}\right)(1-i),\left(N+\frac{1}{2}\right)(-1-i)\)
Risulta \( \displaystyle \underset{N \rightarrow \infty}{lim}\oint_{R_N}f(z) dz=0\) (Considerazioni standard sul modulo della funzione)
Applicando il teorema dei residui:
\( \displaystyle \oint_{R_N}f(z) dz=2 \pi i \left( -\frac{\pi^2}{16}+\frac{1}{\pi}+\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 \pi}+\sum_{n=-1}^{-N}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 \pi}\right)\)
dopo semplici manipolazioni:
\( \displaystyle \oint_{R_N}f(z) dz=2 \pi i \left( \frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 }+\frac{(-1)^N}{(2N+1)^3\pi}-\frac{\pi^2}{16}\right)\)
Passando al limite per \( \displaystyle N \rightarrow \infty \) otteniamo infine
\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3 }=\frac{\pi^3}{32}\)
@Toti e Lord
Vabbè ragazzi:
troppa grazia!
Comunque mi consola che i mezzi da me pensati eran idonei;
in particolar modo spunto e considerazioni iniziali d Toti coincidono con le mie,
mentre alla funzione d Riemann avevo pensato da subito ma,poi,ho abbandonato perché il suo valore in 3 non mi riusciva di farlo tornare in alcun modo con quello che doveva essere il risultato che avevo evinto dal post d partenza
(nel quale manca un $pi^3$ al denominatore del IIº "addendo"..):
ciò non toglie che mi devo metter sotto per riprender la dovuta familiarità con quei mezzi!
Grazie ad entrambi:
saluti dal web.
Vabbè ragazzi:
troppa grazia!
Comunque mi consola che i mezzi da me pensati eran idonei;
in particolar modo spunto e considerazioni iniziali d Toti coincidono con le mie,
mentre alla funzione d Riemann avevo pensato da subito ma,poi,ho abbandonato perché il suo valore in 3 non mi riusciva di farlo tornare in alcun modo con quello che doveva essere il risultato che avevo evinto dal post d partenza
(nel quale manca un $pi^3$ al denominatore del IIº "addendo"..):
ciò non toglie che mi devo metter sotto per riprender la dovuta familiarità con quei mezzi!
Grazie ad entrambi:
saluti dal web.
Grazie a tutti per le risposte!
Ma urge un altro dubbio, che non mi da pace!
Ho da n=1 a +infinito \(\displaystyle \sum \frac{log3}{n} \)
Questo me lo da che è convergente a +inf, perchè si ottiene (log3)+(log3)/2+(log3)/3+.... ?
Ma urge un altro dubbio, che non mi da pace!
Ho da n=1 a +infinito \(\displaystyle \sum \frac{log3}{n} \)
Questo me lo da che è convergente a +inf, perchè si ottiene (log3)+(log3)/2+(log3)/3+.... ?
Ciao quella serie non può convergere!
$sum_(n=1)^(+oo) log(3)/n=log(3)*sum_(n=1)^(+oo) 1/n$
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n$ è la serie armonica che diverge positivamente!
$sum_(n=1)^(+oo) log(3)/n=log(3)*sum_(n=1)^(+oo) 1/n$
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n$ è la serie armonica che diverge positivamente!
Aaaaah, grazie davvero 
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