Calcolo seno e coseno
Ciao a tutti avrei bisogno di un vostro aiuto..
sapete dirmi come si arriva alla formula del seno e del coseno senza calcolatrice e senza consultare la tabella dei risultati?
ad esempio...
calcolo del seno e del coseno di pigreco... oppure di pigreco alla seconda??
grazie mille per l'aiuto..[/asvg]
sapete dirmi come si arriva alla formula del seno e del coseno senza calcolatrice e senza consultare la tabella dei risultati?
ad esempio...
calcolo del seno e del coseno di pigreco... oppure di pigreco alla seconda??
grazie mille per l'aiuto..[/asvg]
Risposte
Di solito si usano gli sviluppi in serie di Taylor:
$sinx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k+1)!)x^(2k+1)$
$cosx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k)!)x^(2k)$
$sinx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k+1)!)x^(2k+1)$
$cosx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k)!)x^(2k)$
capisco.. un esempio pratico??
e poi k cosa rappresenta??
mi sa che mi studio gli sviluppi di Taylor
e poi k cosa rappresenta??
mi sa che mi studio gli sviluppi di Taylor
Ciao wruy,
Personalmente io penso che si possa arrivare a determinare il seno e il coseno di angoli "canonici"conoscendo almeno il fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari, dove con canonici intendo pi greco, pi greco mezzi ecc...
Mi spiego meglio: sapere che il seno è una funzione dispari aiuta molto, guardando la cosa dal punto di vista del grafico sinusoidale, (almeno a me), nel ricordare che il seno di x è nullo per x=0, così come sapere che il coseno è una funzione pari, aiuta molto a ricordarsi che il coseno di x vale 1 per x=0; procedendo su questa falsa riga, puoi determinare il seno e il coseno di altri angoli canonici, ricordando la periodicità di queste funzioni. Però mi rendo conto che questo metodo può sembrare meccanico, e quindi puoi usarne un altro, cioè proprio la definizione di seno e coseno(che io utilizzo sempre quando tratto con gli archi associati):
Puoi disegnarti uno schizzo della circonferenza goniometrica e disegnare l'angolo di cui vuoi sapere il seno ad esempio:
senx è definito come l'ordinata del punto P che viaggia sulla circonferenza di equazione x^2 + y^2 = 1, cioè proprio la circonferenza che hai disegnato; Ora l'angolo per definizione è una porzione di piano compresa tra due semirette che hanno in comune l'origine, e nel tuo caso le semirette sono 1) l'asse x cartesiano 2) la semiretta che unisce il punto P con l'origine degli assi, e quindi alla fine della fiera, sto cercando di dirti che basta che consideri l'ordinata di questo punto P per sapere quanto vale il seno: se l'angolo è pigreco mezzi, ad esempio, è banale verificare che la sua ordinata vale esattamente 1, e quindi sen(TT/2)=1;
Analogamente possiamo ragionare per il coseno, che è definito come l'ascissa del punto P: cos(TT/2)=0 perchè l'ascissa di P è nulla...Per angoli come ad esempio TT/4 puoi procedere nello stesso modo, solo che questa volta non sai con precisione quanto sarà l'ascissa o l'ordinata di questo punto P, e sarai costretto a ricordarti che sen(TT/4)=cos(TT/4)=radical2 mezzi...
Se t trovi a che fare con angoli non canonici come ad esempio TT/13 beh allora come suggeriva Lord K devi per forza usare gli sviluppi di Taylor.
Personalmente io penso che si possa arrivare a determinare il seno e il coseno di angoli "canonici"conoscendo almeno il fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari, dove con canonici intendo pi greco, pi greco mezzi ecc...
Mi spiego meglio: sapere che il seno è una funzione dispari aiuta molto, guardando la cosa dal punto di vista del grafico sinusoidale, (almeno a me), nel ricordare che il seno di x è nullo per x=0, così come sapere che il coseno è una funzione pari, aiuta molto a ricordarsi che il coseno di x vale 1 per x=0; procedendo su questa falsa riga, puoi determinare il seno e il coseno di altri angoli canonici, ricordando la periodicità di queste funzioni. Però mi rendo conto che questo metodo può sembrare meccanico, e quindi puoi usarne un altro, cioè proprio la definizione di seno e coseno(che io utilizzo sempre quando tratto con gli archi associati):
Puoi disegnarti uno schizzo della circonferenza goniometrica e disegnare l'angolo di cui vuoi sapere il seno ad esempio:
senx è definito come l'ordinata del punto P che viaggia sulla circonferenza di equazione x^2 + y^2 = 1, cioè proprio la circonferenza che hai disegnato; Ora l'angolo per definizione è una porzione di piano compresa tra due semirette che hanno in comune l'origine, e nel tuo caso le semirette sono 1) l'asse x cartesiano 2) la semiretta che unisce il punto P con l'origine degli assi, e quindi alla fine della fiera, sto cercando di dirti che basta che consideri l'ordinata di questo punto P per sapere quanto vale il seno: se l'angolo è pigreco mezzi, ad esempio, è banale verificare che la sua ordinata vale esattamente 1, e quindi sen(TT/2)=1;
Analogamente possiamo ragionare per il coseno, che è definito come l'ascissa del punto P: cos(TT/2)=0 perchè l'ascissa di P è nulla...Per angoli come ad esempio TT/4 puoi procedere nello stesso modo, solo che questa volta non sai con precisione quanto sarà l'ascissa o l'ordinata di questo punto P, e sarai costretto a ricordarti che sen(TT/4)=cos(TT/4)=radical2 mezzi...
Se t trovi a che fare con angoli non canonici come ad esempio TT/13 beh allora come suggeriva Lord K devi per forza usare gli sviluppi di Taylor.
ti ringrazio ora faccio un po di esperimenti per vedere se ho capito tutto
ti farò sapere
grazie ancora
ti farò sapere
grazie ancora
Di niente
Rivedendo gli altri post, se hai dei valori lontani da zero meglio è valutarla così. $U_(x_0)$ è l'intorno ove fare lo sviluppo.
$sinx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k+1)!)(x-x_0)^(2k+1)$
$cosx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k)!)(x-x_0)^(2k)$
$sinx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k+1)!)(x-x_0)^(2k+1)$
$cosx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k)!)(x-x_0)^(2k)$
"Lord K":
Rivedendo gli altri post, se hai dei valori lontani da zero meglio è valutarla così. $U_(x_0)$ è l'intorno ove fare lo sviluppo.
$sinx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k+1)!)(x-x_0)^(2k+1)$
$cosx = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/((2k)!)(x-x_0)^(2k)$
Non mi pare..
Se sviluppi in $x_0$ ti compaiono le derivate in $x_0$ ....
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