Calcolo residuo

[mauro742]

La funzione $f(z) = (e^(1/z))/(z^2+1)$ ha nel punto z = 0 una singolarità essenziale.
Ora dovrei calcolare il residuo in tale punto. Come posso fare?

Vi ringrazio,

Mauro

[carlo232]

"mauro742":La funzione $f(z) = (e^(1/z))/(z^2+1)$ ha nel punto z = 0 una singolarità essenziale.
Ora dovrei calcolare il residuo in tale punto. Come posso fare?

Vi ringrazio,

Mauro

è da un pò che non uso i residui quindi potrei anche sbagliare, in pratica sviluppando per qualche costanti $a$

$e^(1/z)/(1+z^2)=sum_{n=-infty}^infty a_n z^n$

tu vuoi trovare $a_(-1)$. Abbiamo $e^(1/z)=sum_(n=0)^infty (z^(-n))/(n!)$ e $1/(1+z^2)=sum_{n=0}^infty (-1)^n z^(2n)$, quindi per il prodotto di Cauchy

$a_1=sum_{n=0}^infty ((-1)^n)/((2n+1)!)=sin1$

sono di fretta, non prometto niente!

Ciao Ciao

[mauro742]

Il risultato è proprio quello
Non ero a conoscenza del prodotto di Cauchy a quanto pare per questo non sapevo come andare avanti

Grazie

[carlo232]

"mauro742":Il risultato è proprio quello
Non ero a conoscenza del prodotto di Cauchy a quanto pare per questo non sapevo come andare avanti

Grazie

Allora non sono arrugginito

Il prodotto di Cauchy non è niente di che

$(sum_(n=-infty)^infty a_n z^n)(sum_(n=-infty)^infty b_nz^n)=sum_(n=-infty)^infty z^n sum_(m=-infty)^infty a_mb_(n-m) $

tutto qui