Calcolo punti estremi relativi di f(x,y)

[angelo.intile]

Ciao ragazzi, sto facendo delle tipologie di esercizi riguardanti la ricerca di punti estremi relativi di funzioni di due variabili.

Ad esempio, la funzione è questa $f(x,y)=e^(x^3y-xy^2+x)$, quindi possiamo ridurci a studiare la funzione all'esponente $g(x,y)=x^3y-xy^2+x$

Vi dico il procedimento che ho fatto io così mi dite se è giusto:

1-Ricerco gli eventuali punti stazionari ponendo il $\nabla g=0 $, quindi calcolo $g_x=3x^2y-y^2+1$ e $g_y=x^3-2xy$, e facendo il sistema

$\{(3x^2y-y^2+1 = 0),(x^3-2xy= 0):}$ mi sono venuti fuori i punti $(0,0),(0,1),(0,-1)$ (spero di aver risolto correttamente il sistema )

2- Costruisco la matrice Hessiana $Hg=((6xy,3x^2-2y),(3x^2-2y,-2x))$

3- Andando a sostituire i valori, noto che per tutti e tre i punti gli autovalori della matrice sono tutti 0, quindi la matrice è indefinita, e i tre punti dovrebbero essere tre punti di sella.

Che dite ?

[quantunquemente]

$(0,0)$ non è soluzione del sistema
per gli altri 2 punti l'hessiano è negativo,quindi sono punti di sella

[gio73]

"angelointi94":

$\{(3x^2y-y^2+1 = 0),(x^3-2xy= 0):}$ mi sono venuti fuori i punti $(0,0),(0,1),(0,-1)$ (spero di aver risolto correttamente il sistema )

Non mi convince l'origine, se vado a sostituire la prima equazione mi viene $+1=0$, sbaglio?

[angelo.intile]

"gio73":[quote="angelointi94"]

$ \{(3x^2y-y^2+1 = 0),(x^3-2xy= 0):} $ mi sono venuti fuori i punti $ (0,0),(0,1),(0,-1) $ (spero di aver risolto correttamente il sistema )

Non mi convince l'origine, se vado a sostituire la prima equazione mi viene $ +1=0 $, sbaglio?[/quote]

"quantunquemente":$ (0,0) $ non è soluzione del sistema
per gli altri 2 punti l'hessiano è negativo,quindi sono punti di sella

Avete ragione, quindi gli altri due punti sono dei punti di sella come avevo detto.

Inoltre l'esercizio richiede di determinare gli estremi assoluti nel triangolo di vertici (0; 0), (1;-1) e (1; 1), quindi come procedo ?

Vi elenco la scaletta che secondo me si deve seguire:

1) Ricerca punti stazionari interni ponendo $\nabla f =0$ (già fatto prima, e i punti non risultano essere interni al triangolo);
2) Ricerca punti singolari interno dove $\nabla f$ non esiste (come si fa a vedere se c'è qualche punto dove non esiste?);
3) Ricerca punti sul bordo, utilizzando il metodo della "parametrizzazione" o dei "moltiplicatori di Lagrange".

Aiutatemi ragazzi

[angelo.intile]

Ragazzi qualcuno che mi aiuti