Calcolo Punti Critici In Più Variabili
Salve a tutti,
data la funzione $f(x,y)= e^(-x^2-y^2-x) $ bisogna determinare la natura dei punti critici.
Sorvolando sui calcoli l'hessiana è $ ( ( -2e^(1/4) , 0 ),( 0 , -2e^(1/4) ) ) $ .
Ora tenendo presente la proposizione:
- se $detH_(f)(x_0,y_0)>0$ e $f_(x x) (x_0,y_0)>0$ allora $(x_0,y_0)$ è minimo locale
- se $detH_(f)(x_0,y_0)>0$ e $f_(x x) (x_0,y_0)<0$ allora $(x_0,y_0)$ è massimo locale
etc.. (le altre insomma si sanno)
.. allora in questo caso avrei che il punto critico $(-1/2,0)$ è massimo locale ma invece facendo altre verifiche si nota che $ f(x,y) < 1 = f(-1/2, 0) $ pertanto tale punto critico è massimo assoluto.
Insomma mettere in pratica la proposizione serve e non serve? C'è qualcosa che mi sfugge oppure ogni volta bisogna sempre verificare con la definizione di massimo e minimo??
Grazie!
data la funzione $f(x,y)= e^(-x^2-y^2-x) $ bisogna determinare la natura dei punti critici.
Sorvolando sui calcoli l'hessiana è $ ( ( -2e^(1/4) , 0 ),( 0 , -2e^(1/4) ) ) $ .
Ora tenendo presente la proposizione:
- se $detH_(f)(x_0,y_0)>0$ e $f_(x x) (x_0,y_0)>0$ allora $(x_0,y_0)$ è minimo locale
- se $detH_(f)(x_0,y_0)>0$ e $f_(x x) (x_0,y_0)<0$ allora $(x_0,y_0)$ è massimo locale
etc.. (le altre insomma si sanno)
.. allora in questo caso avrei che il punto critico $(-1/2,0)$ è massimo locale ma invece facendo altre verifiche si nota che $ f(x,y) < 1 = f(-1/2, 0) $ pertanto tale punto critico è massimo assoluto.
Insomma mettere in pratica la proposizione serve e non serve? C'è qualcosa che mi sfugge oppure ogni volta bisogna sempre verificare con la definizione di massimo e minimo??
Grazie!
Risposte
Se marco è il piu alto della sua scuola, allora è anche il piú alto della sua classe...
Nel mio esempio so solo che marco è il più alto della classe ma non posso concludere che è il più alto della scuola..
No, sai che è il piú alto della scuola...
In pratica qual è il tuo dubbio? Se ti è chiara la roba di marco non ho capito quale sia il dubbio
$ f(x,y) < 1 = f(-1/2, 0) $
Non mi pare, ma vabbhe.
Lo sai che un minimo locale può essere anche un massimo globale?
Non mi pare, ma vabbhe.
Lo sai che un minimo locale può essere anche un massimo globale?
Se in base alla proposizione affermo che il punto in questione è SOLO massimo locale e basta ho sbagliato.
Quindi come faccio a sapere che è anche massimo assoluto?
Questo è il mio dubbio.
Se invece, prendendo in esame un altro esercizio, mi ritrovo ad avere un massimo assoluto allora è ovvio che è anche massimo locale e questo mi è chiaro, ma visto che non sono in questo caso..
Non saprei come altro spiegarmi..
Quindi come faccio a sapere che è anche massimo assoluto?
Questo è il mio dubbio.
Se invece, prendendo in esame un altro esercizio, mi ritrovo ad avere un massimo assoluto allora è ovvio che è anche massimo locale e questo mi è chiaro, ma visto che non sono in questo caso..
Non saprei come altro spiegarmi..
Se in base alla proposizione affermo che il punto in questione è SOLO massimo locale e basta ho sbagliato.
Quindi come faccio a sapere che è anche massimo assoluto?
la ricerca di estremi locali è molto differente da quella di estremi assoluti, sono due cose che non c'entrano niente l'unca con l'altra.
L'esercizio ti da una funzione e ti chiede la natura dei punti critici, ossia devi dire se i punti critici sono: massimi locali, minimi locali oppure sella, non ti importa niente degli estremi assoluti, non è neanche detto che esistano...quella proposizone non ti dice che il punto è SOLO un massimo locale, ti dice che il punto E' un massimo locale e basta, non ha importanza se è anche un massimo assoluto, questo non inficia in alcun modo il fatto che sia un massimo locale (è la questione di marco...che marco sia o meno il piu alto della scuola non ha importanza, ci basta sapere che è il più alto della classe...se poi è anche il piu alto della scuola ben venga...ma rimane sempre il più alto della classe).
L'hessiana si usa SOLO per gi estremi locali, nella ricerca di estremi assoluti ti viene data la funzione e un dominio, nella ricerca di estremi assoluti l'hessiana NON si usa, non ti serve a niente (è un errore che commettono in molti).
Bene adesso è chiaro.
Per gli estremi relativi si usa l'hessiana mentre per gli assoluti o la definizione oppure mediante limiti.
Grazie.
Per gli estremi relativi si usa l'hessiana mentre per gli assoluti o la definizione oppure mediante limiti.
Grazie.
Per gli assoluti semplicemente si vede qual è il punto in cui la funzione assume valore massimo e minimo (in un dominio chiuso e limitato si cercano i punti critici dentro al dominio, i punti di discontinuità e non derivabilità della funzione e i punti alla frontiera, e si valuta quanto vale f in questi punti e si prende il massimo e minimo)
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