Calcolo punti critici funzione due variabili

[Tatasala]

Salve, sto calcolando i punti di massimo e di minimo relativo della funzione: $f(x,y)=xy(12-3x-4y)$ . Dopo aver calcolato le derivate parziali prime della funzione mi trovo a dover risolvere il seguente sistema: ${(y*(6-3x-2y)=0),(x*(12-3x-8y)=0):}$ .
per le variabili $y$ ed $x$ fuori dalle parentei ottengo il punto di coordinate $(0;0)$, facendo il metodo di Cramer con le funzioni tra parentesi ottengo poi il punto di coordinate $(4/3;1)$. Il libro riporta altri due punti ottenuti dalla soluzione del sistema ossia i punti di coordinate $(4;0)$ e $(0;3)$, ma non riesco a capire come li ha ottenuti...

[ViciousGoblin]

Dato il sistema non è lineare NON c'è una regola generale.
Nel tuo caso però il sistema si risolve semplicemente notando che ognuna delle due equazioni
consiste nel porre eguale a zero il prodotto di due fattori. Per la legge di annullamento del prodotto
questo equivale all'eguaglianza a zero di uno dei due fattori. Dato che hai due equazioni di questo tipo
le soluzioni tuo sistema sono le $(x,y)$ che risolvono uno tra i quattro sistemi:
$ {(y=0),(x=0):} $
$ {(y=0),(12-3x-8y=0):} $
$ {(6-3x-2y=0),(x=0):} $
$ {(6-3x-2y=0),(12-3x-8y=0):} $

che ora sono lineari: i primi tre sono di soluzione ovvia, nell'ultimo puoi applicare il metodo che preferisci.

[Tatasala]

Ti ringrazio, sei stato chiarissimo. Ho un altro dubbio su quest'altro sistema: ${(2x=0),(4y*(y+1)(y+2)=0):}$ ottenuto sempre per il calcolo dei punti estremanti della funzione: $f(x,y)=x^2+4y^2+4y^3+y^4$ . In questo caso procedo in maniera analoga al precedente?

[@melia]

Questo caso è immediato perché $ x=0$ sempre, per via della prima equazione, mentre la y può valere $0$, $-1$ oppure $-2$.