Calcolo primitiva
Salve a tutti, ho dei dubbi circa lo svolgimento del seguente esercizio:
" Determinare una primitiva della funzione \(\displaystyle f(x) = \frac{2^{-\sqrt x}}{\sqrt x} \), \(\displaystyle f: (0,+\infty ) \rightarrow \mathbb{R} \)"
Io ho applicato il metodo di integrazione per sostituzione nel seguente modo:
- Riscrivo $f(x)$ come: \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2^{\sqrt x} \sqrt x} \).
- Ho posto $x=t^2$, ottenendo: \(\displaystyle \int\frac{2^{-t}}{t} dt \)
- Moltiplico e divido per $2$: \(\displaystyle 2\int\frac{1^{-t}}{t} dt \), ovvero: \(\displaystyle 2\ln|t|+c \)
- Sostituisco $t=sqrt(x)$ e ottengo la primitiva: $2\ln sqrt(x) + c $.
Questo procedimento mi sembra molto più semplice ed intuitivo di quello proposto nella soluzione sul mio testo, per questo ho dubbi circa la sua correttezza. E' tra i primi esercizi "complessi" che svolgo su questo argomento, e vorrei avere un vostro parere per valutare il mio grado di comprensione dell'argomento.
Vi ringrazio!
" Determinare una primitiva della funzione \(\displaystyle f(x) = \frac{2^{-\sqrt x}}{\sqrt x} \), \(\displaystyle f: (0,+\infty ) \rightarrow \mathbb{R} \)"
Io ho applicato il metodo di integrazione per sostituzione nel seguente modo:
- Riscrivo $f(x)$ come: \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2^{\sqrt x} \sqrt x} \).
- Ho posto $x=t^2$, ottenendo: \(\displaystyle \int\frac{2^{-t}}{t} dt \)
- Moltiplico e divido per $2$: \(\displaystyle 2\int\frac{1^{-t}}{t} dt \), ovvero: \(\displaystyle 2\ln|t|+c \)
- Sostituisco $t=sqrt(x)$ e ottengo la primitiva: $2\ln sqrt(x) + c $.
Questo procedimento mi sembra molto più semplice ed intuitivo di quello proposto nella soluzione sul mio testo, per questo ho dubbi circa la sua correttezza. E' tra i primi esercizi "complessi" che svolgo su questo argomento, e vorrei avere un vostro parere per valutare il mio grado di comprensione dell'argomento.
Vi ringrazio!
Risposte
"Smoke666":
- Ho posto $x=t^2$, ottenendo: \(\displaystyle \int\frac{2^{-t}}{t} dt \)
- Moltiplico e divido per $2$: \(\displaystyle 2\int\frac{1^{-t}}{t} dt \), ovvero: \(\displaystyle 2\ln|t|+c \)
Attento...
Ci stavo riflettendo proprio ora...credo di aver sbagliato la sostituzione in quanto la formula mi dice che:
\(\displaystyle [\int f(x) dx]_{x=g(t)} = \int f(g(t)) g'(t) d t \)
E io nella mia sostituzione non ho moltiplicato per $g'(t)$.
E' questo l'errore?
\(\displaystyle [\int f(x) dx]_{x=g(t)} = \int f(g(t)) g'(t) d t \)
E io nella mia sostituzione non ho moltiplicato per $g'(t)$.
E' questo l'errore?
Mi sembra che, se nell'integrale della funzione
$f(x) = 2^(-sqrt(x))/sqrt(x)$
fai la sostituzione
$x=t^2$,
ottieni che
$sqrt(x)=t$
e
$dx=2tdt$.
Per cui
$int 2^(-sqrt(x))/sqrt(x)dx=int 2^(-t)/t*2tdt=2int 2^(-t)dt$
$f(x) = 2^(-sqrt(x))/sqrt(x)$
fai la sostituzione
$x=t^2$,
ottieni che
$sqrt(x)=t$
e
$dx=2tdt$.
Per cui
$int 2^(-sqrt(x))/sqrt(x)dx=int 2^(-t)/t*2tdt=2int 2^(-t)dt$
Questo è un primo errore, esatto, però attento: anche ammettendo che la sostituzione sia stata fatta correttamente, nel secondo punto da me citato hai commesso un errore di natura algebrica, sei in grado di trovarlo?
Ah già, ho trattato $2^t$ come se fosse una normale costante, non posso dividere e moltiplicare per 2! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Il problema sta lì, ma non ho capito che intendi. Se vuoi, puoi moltiplicare e dividere (anche se complichi l'espressione della funzione), ma:
$2^(-t) \cdot 2/2 = 2 \cdot (2^(-t)/2) = 2 \cdot 2^(-t-1)$
mi raccomando, fai molta attenzione e cerca di capire bene perché è così e cosa succede operando in questo modo (quando "moltiplichi e dividi"). Non è consigliabile agire troppo meccanicamente su un esercizio, pensa sempre a quel che hai fra le mani e a quel che fai
$2^(-t) \cdot 2/2 = 2 \cdot (2^(-t)/2) = 2 \cdot 2^(-t-1)$
mi raccomando, fai molta attenzione e cerca di capire bene perché è così e cosa succede operando in questo modo (quando "moltiplichi e dividi"). Non è consigliabile agire troppo meccanicamente su un esercizio, pensa sempre a quel che hai fra le mani e a quel che fai
Ho abbandonato la strada della semplificazione quando ho notato il primo errore che ho individuato. Ho quindi risolto l'integrale nel seguente modo:
\(\displaystyle f(x)=\frac{2^{-\sqrt x}}{\sqrt x} \)
posto $x=t^2$, ottengo: $t=sqrt(x)$ e $dx = 2tdt$; dunque:
\(\displaystyle \int \frac{2^{-t}}{t} 2t dt \) $=$ \(\displaystyle 2\int 2^{-t}dt \)
applico nuovamente la sostituzione a \(\displaystyle \int 2^{-t}dt \) ponendo $u=-t$, $dt = -du$ da cui:
\(\displaystyle \int -2^{u}du = - \int 2^u du = -\frac{2^u}{log (2)} \)
sostituendo $u=-t$ ottengo: \(\displaystyle -\frac{2^{-t}}{log (2)} \)
sostituendo $t=sqrt(x)$ ottengo \(\displaystyle -2\frac{2^{-t}}{log (2)} \) ottengo la soluzione:
\(\displaystyle -\frac{2^{-t}}{log (2)} = -\frac{2*2^{-\sqrt x}}{log (2)} = -\frac{2^{1-\sqrt x}}{log (2)} \)
E' corretto ora, mi sembra!
\(\displaystyle f(x)=\frac{2^{-\sqrt x}}{\sqrt x} \)
posto $x=t^2$, ottengo: $t=sqrt(x)$ e $dx = 2tdt$; dunque:
\(\displaystyle \int \frac{2^{-t}}{t} 2t dt \) $=$ \(\displaystyle 2\int 2^{-t}dt \)
applico nuovamente la sostituzione a \(\displaystyle \int 2^{-t}dt \) ponendo $u=-t$, $dt = -du$ da cui:
\(\displaystyle \int -2^{u}du = - \int 2^u du = -\frac{2^u}{log (2)} \)
sostituendo $u=-t$ ottengo: \(\displaystyle -\frac{2^{-t}}{log (2)} \)
sostituendo $t=sqrt(x)$ ottengo \(\displaystyle -2\frac{2^{-t}}{log (2)} \) ottengo la soluzione:
\(\displaystyle -\frac{2^{-t}}{log (2)} = -\frac{2*2^{-\sqrt x}}{log (2)} = -\frac{2^{1-\sqrt x}}{log (2)} \)
E' corretto ora, mi sembra!
"Smoke666":
Ho abbandonato la strada della semplificazione quando ho notato il primo errore che ho individuato.
Sì, ma rifletti su quello che ho scritto, "portar fuori" in quel modo da un esponenziale è un errore serio.
"Smoke666":
sostituendo $t=sqrt(x)$ ottengo \(\displaystyle -2\frac{2^{-t}}{log (2)} \)
Ecco perché ti dico di riflettere sul significato di quello che fai quando manipoli una formula. Da dove spunta quel $2$?
"Epimenide93":
[quote="Smoke666"]Ho abbandonato la strada della semplificazione quando ho notato il primo errore che ho individuato.
Sì, ma rifletti su quello che ho scritto, "portar fuori" in quel modo da un esponenziale è un errore serio.
"Smoke666":
sostituendo $t=sqrt(x)$ ottengo \(\displaystyle -2\frac{2^{-t}}{log (2)} \)
Ecco perché ti dico di riflettere sul significato di quello che fai quando manipoli una formula. Da dove spunta quel $2$?[/quote]
Hai ragione per l'esponenziale, ho applicato un procedimento "meccanico" senza badare al fatto che fosse un esponenziale!
Il due salta fuori da qui:
\(\displaystyle \int (\frac{2^{-t}}{t} 2t)dt \)
semplificando $t$ e $2t$:
\(\displaystyle \int (2^{-t} 2) dt = 2 \int 2^{-t} \)
Lì stai applicando una proprietà degli integrali (la cosiddetta integrazione per sostituzione), la formula che hai scritto (e che si dimostra) permette di sostituire alla variabile di integrazione una funzione opportuna (sotto certe ipotesi). Il fatto che tu debba "usare la formula" è dovuto al fatto che stai cercando una primitiva, quindi mentre sostituisci devi assicurarti che la nuova funzione che vai a scrivere abbia la stessa primitiva di quella da cui sei partito, espressa mediante la nuova variabile. Applicando la formula che hai riportato ciò accade (come e perché ciò accada viene evidenziato nella sua dimostrazione). Quindi finché stiamo cercando delle primitive (se vuoi, finché siamo nel simbolo di integrale), è tutto corretto. Quando alla fine trovi la primitiva della tua funzione "finale" (quella ottenuta dopo aver fatto tutte le sostituzioni), tu devi esprimere questa variabile nei termini di quella iniziale, quindi devi semplicemente sfruttare le uguaglianze che hai posto per definizione. Quando tu poni $t = \sqrt(x)$ a $t$ dovrai sostituire $\sqrt(x)$, perché sono uguali (per definizione), tutto qui, non devi "fare il contrario" di quello che hai fatto quando stavi cercando la primitiva, l'uguale in questo caso ti dice che "ciò che sta a destra" e "ciò che sta a sinistra" sono la stessa cosa, quindi scrivere l'uno o l'altro è indifferente, sostituire nella fattispecie significa appunto scrivere $\sqrt(x)$ "ogni volta che trovi $t$". Gli scrupoli prima di passare alle primitive ce li siamo fatti per assicurarci che la sostituzione non cambiasse la primitiva, una volta fatto il passaggio siamo tranquilli.
Tutto chiaro, grazie per l'ottima spiegazione! Posterò un altro esercizio affrontato con la stessa tecnica per consolidare quanto mi hai spiegato! 
Devo calcolare:
\(\displaystyle \int \frac{x+\sqrt{2x+1}}{x-\sqrt{2x+1}} dx \)
posto $t^2 = 2x-1$ \(\displaystyle \Rightarrow dx = t dt , x = \frac{t^2+1}{2} \)
\(\displaystyle \int \frac{\frac{t^2+1}{2}+t}{\frac{t^2+1}{2}-t} tdt =\)
\(\displaystyle = \int \frac{t^2+2t+1}{t^2-2t+1} tdt = \)
\(\displaystyle = \int \frac{t^3+2t^2+t}{t^2-2t+1} dt = \)
applico la divisione tra polinomi e trovo $R(t) = 8t-4$, $Q(t) = t+4$, dunque:
\(\displaystyle = \int (t+4)dt + \int (\frac{8t-4}{(t-1)^2}) dt = \)
\(\displaystyle = t^2+4t+4\int \frac{4(2t-1)}{(t-1)^2} = t^2+4t+4\int \frac{2}{(t-1)}dt+4\int \frac{1}{(t-1)^2}dt =\)
\(\displaystyle = t^2+4t+8 log |t-1| - \frac{4}{t-1}+c \)
Sostituendo $t=sqrt{2x-1}$ ottengo:
\(\displaystyle \int \frac{x+\sqrt{2x+1}}{x-\sqrt{2x+1}} dx = \frac{2x-1}{2}+4\sqrt{2x-1}+8 log |\sqrt{2x-1}-1| -\frac{4}{\sqrt{2x-1}-1}+c \)
Penso sia corretto, ma vorrei avere una conferma
\(\displaystyle \int \frac{x+\sqrt{2x+1}}{x-\sqrt{2x+1}} dx \)
posto $t^2 = 2x-1$ \(\displaystyle \Rightarrow dx = t dt , x = \frac{t^2+1}{2} \)
\(\displaystyle \int \frac{\frac{t^2+1}{2}+t}{\frac{t^2+1}{2}-t} tdt =\)
\(\displaystyle = \int \frac{t^2+2t+1}{t^2-2t+1} tdt = \)
\(\displaystyle = \int \frac{t^3+2t^2+t}{t^2-2t+1} dt = \)
applico la divisione tra polinomi e trovo $R(t) = 8t-4$, $Q(t) = t+4$, dunque:
\(\displaystyle = \int (t+4)dt + \int (\frac{8t-4}{(t-1)^2}) dt = \)
\(\displaystyle = t^2+4t+4\int \frac{4(2t-1)}{(t-1)^2} = t^2+4t+4\int \frac{2}{(t-1)}dt+4\int \frac{1}{(t-1)^2}dt =\)
\(\displaystyle = t^2+4t+8 log |t-1| - \frac{4}{t-1}+c \)
Sostituendo $t=sqrt{2x-1}$ ottengo:
\(\displaystyle \int \frac{x+\sqrt{2x+1}}{x-\sqrt{2x+1}} dx = \frac{2x-1}{2}+4\sqrt{2x-1}+8 log |\sqrt{2x-1}-1| -\frac{4}{\sqrt{2x-1}-1}+c \)
Penso sia corretto, ma vorrei avere una conferma
È corretto, nei passaggi in cui la variabile è $t$ il primo termine è $t^2/2$, ma quando hai sostituito quel $1/2$ l'hai messo, quindi il risultato finale è giusto.
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