Calcolo periodo funzioni

[matematicamenteparlando]

ciao a tutti,sono utente nuovo ,sto studiando per l'ammissione all'università e non riesco a capire come calcolare il periodo di una funzione(non solo quelle goniometriche ma le funzioni in generale).
L'unica cosa che ho capito è di impostare l'uguaglianza:

$f(x+T)=f(x)$

però poi mi blocco negli esercizi.

Vi ringrazio per l'attenzione e disponibilità

[gio73]

Ciao e benvenuto.
Prova a postare un esercizio e i tuoi tentativi, così si capisce dove ti blocchi.

[matematicamenteparlando]

ciao,
allora è imbarazzante dirlo ma mi blocco al primo passaggio;cioè ad esempio se volessi calcolare il periodo della funzione coseno,non sapendo che è due pigreco,io faccio:
$cos(x+T)=cos(x)$
E poi non so che fare

[gio73]

ci sono cose che si sanno, diciamo che sono di base: il periodo della funzione coseno è $2pi$ e quello della funzione seno idem. Prova con un altro esercizio e vediamo.

[matematicamenteparlando]

si il periodo della funzione seno e coseno lo so qual'è,ho fatto quello come esempio cosi da capire tutti i passaggi per arrivare a calcolare il periodo da zero e verificare appunto che sia 2pigreco.

Comunque come esempio possiamo prendere:

$tan(x)$
oppure
$ln(x)$

quest'ultima già si sa che non è periodica,però vorrei vederlo a livello di calcoli cosa succede se vado a calcolare il suo periodo.

[Pierlu11]

"matematicamenteparlando":ciao,
allora è imbarazzante dirlo ma mi blocco al primo passaggio;cioè ad esempio se volessi calcolare il periodo della funzione coseno,non sapendo che è due pigreco,io faccio:
$ cos(x+T)=cos(x) $
E poi non so che fare

Quello che ottieni è una semplice equazione goniometrica che puoi risolvere con le tecniche che ti hanno insegnato... devi solo tener presente che la tua incognita è $ T $ e che il periodo è il MINIMO valore che $ T $ assume.
Il problema di $ cosx $ e $ sinx $ è che nel cercare il periodo stai già usando implicitamente la soluzione (quando aggiungi $ 2kpi $ ) quindi non ha molto senso come esercizio... prova con $ cos2x $ ad esempio.
Per quanto riguarda $ lnx $ non c'è nessun calcolo da fare; il fatto che è strettamente monotona ti dice che per argomenti diversi la funzione non può assumere lo stesso valore.

[matematicamenteparlando]

ciao,
senti sto entrando molto in confusione ti potrei chiedere la gentilezza di farmi vedere il procedimento pratico per calcolare il periodo della funzione $cos2x$ così ho un modello da seguire per i prossimi esercizi;
te ne sarei immensamente grato

[Camillo]

Mi intrometto
Si vuole trovare il periodo della funzione $y = cos (2x) $.
Devo trovare il più piccolo valore $T $ tale che $ cos (2x) = cos 2(x+T) = cos (2x+2T) $ .
Poichè $cos x $ ha periodo $2 pi $ (paragonando il primo e l'ultimo termine sopra ) abbiamo che $2 T =2 pi $ da cui finalmente $T= pi $.
Se fosse più in generale da trovare il periodo di $ cos(nx) $ con $n in NN $ avremmo $n T = 2pi $ da cui $T= (2pi)/n $.
La funzione invece $ tan (nx) $ ha periodo $pi/n $ ok ?

[matematicamenteparlando]

ciao a tutti,grazie delle risposte,
Dal procedimento di Camillo non ho capito molto bene perchè dopo un po' di passaggi andiamo a considerare solo gli argomenti dei due coseni.
E' una proprietà che non conosco?
Grazie ancora per la disponibilità e pazienza

[Pierlu11]

Quando hai un'equazione goniometrica del tipo $ cos[2(x+T)]=cos2x $ , questa è verificata per $ 2(x+T)=2x+2kpi $ (forse può sembrare più chiaro se la vedi in questo modo).

Continuando a risolvere ottieni $ 2T=2kpi $ cioè $ T=kpi $ con $ k=1,2,... $ ; poiché cerchiamo il MINIMO valore di $ T $ concludiamo che $ T=pi $ .

[matematicamenteparlando]

Non riesco a capire bene bene,
questa proprietà vale anche per i logaritmi?
Ad esempio:
$
log(2x)=log(2x+2)$

diventa
$
2x=2x+2
$

[Pierlu11]

Non si tratta di eguagliare gli argomenti ma di applicare la periodicità del coseno: due angoli hanno lo stesso coseno (e sono nella "stessa fase" del grafico) se sono uguali o differiscono per un multiplo di $ 2pi $ ...