Calcolo ordine infinitesimo per x->0

[chinodda]

Salve a tutti. Qualcuno può aiutarmi nel calcolo dell'ordine di infinitesimo per $x->0$ della seguente funzione?

$f(x)=4^(1-cos(x^(1/2)))-2^x$

la f(x) equivale a $4^(1/2x)-2^x$ ?
Ma non ho ben capito come procedere,grazie per ogni eventuale risposta!

[Palliit]

Ciao. Secondo me conviene innanzitutto scrivere [tex]4^{1-\cos\sqrt{x}}=2^{2-2\cos\sqrt{x}}[/tex], quindi sviluppare quel $cos sqrt x$ almeno fino al termine di secondo grado (viceversa si eliminerebbero tutti i termini e la tua funzione si ridurrebbe a quello che hai scritto, $4^(x/2)-2^x$, che in ogni caso è identicamente zero e quindi non ti dà informazioni sull'ordine di infinitesimo);
poi dopo qualche semplificazione raccogli $2^x$, e dovresti ottenere $2^x(2^(-x^2/12)-1)$; a questo punto ti resta solo da sviluppare l'esponenziale entro parentesi dovresti aver finito. A me risulta: [tex]f(x)\sim -\frac{\ln2}{12}x^{2}[/tex], salvo ovviamente errori miei.

[chinodda]

Ciao e anzitutto grazie per avermi risposto!^^ ascolta,non ho capito un passaggio,come mai raccogliendo $2^x$ ti esce come esponente in parentesi $-x^2/2$ ??

[Palliit]

Ciao, l'ho corretto, è $-x^2/12$, viene dallo sviluppo di $\cos sqrt x=1-x/2+x^2/(4!)+o(x^2)$, moltiplichi per $2$ ed il $4"!"=24$ diventa $12$.

[chinodda]

perfetto mi è chiaro!!grazie ancora!!