Calcolo operatore aggiunto

[5mrkv]

\begin{split}
\langle A^{\dagger}\varphi_{m},\varphi_{n} \rangle
&=\langle \varphi_{m},A\varphi_{n} \rangle \\
&=\langle \varphi_{m},(2(n+1))^{-1}\varphi_{n+1} \rangle \\
&=\langle (2(n+1))^{-1} \varphi_{m},\varphi_{n+1} \rangle \\
&=(2(n+1))^{-1}\delta_{m,n+1} \\
&=(2n)^{-1}\delta_{m-1,n} \\
&=\langle (2n)^{-1} \varphi_{m-1},\varphi_{n}\rangle
\end{split}
Dove ho usato l'ortonormalità dei vettori e dove conosco già l'azione di \(A\) su uno di questi. Sempre che i passaggi siano corretti, come soluzione ho
\begin{split}
\langle (2m)^{-1} \varphi_{m-1},\varphi_{n}\rangle\Rightarrow \\
A^{\dagger}\varphi_{m}=(2m)^{-1}\varphi_{m-1} \\
\end{split}
Come faccio a trasformare la mia \(n\) in una \(m\)?

[gugo82]

Insomma, \(A\) è uno shift a destra "modulato", i.e.:
\[
A\phi_n = \frac{1}{2(n+1)}\ \phi_{n+1}\; ,
\]
ove \(\{ \phi_n\}\) è una base ortonormale... Se ho capito bene.
In tal caso hai fatto i conti giusti e sei arrivato a:
\[
\begin{split}
\langle A^\dagger \phi_m ,\phi_n \rangle &= \frac{1}{2(n+1)}\ \delta_{m,n+1} \\
&= \begin{cases} \frac{1}{2(n+1)} &\text{, se } m=n+1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}\\
&= \begin{cases} \frac{1}{2m} &\text{, se } n=m-1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \\
&= \frac{1}{2m}\ \delta_{m-1,n} \\
&= \langle \frac{1}{2m}\ \phi_{m-1},\phi_n\rangle
\end{split}
\]
da cui immediatamente:
\[
\forall m\in \mathbb{N},\qquad A^\dagger \phi_m = \frac{1}{2m}\ \phi_{m-1}\; .
\]

[5mrkv]

Ah, ecco. Quel delta significa che l'espressione è diversa da zero quando \(n+1=m\) allora certo che posso sostituire \(n+1=m\), grazie.