Calcolo misura superficiale
Ciao a tutti. Devo calcolare la misura superficiale di :
$E={(x,y,z) di R3 : x^2+y^2-z^2+1=0, z>0, x^2+y^2<4}$
innanzitutto che cos'è
sarebbe la SUPERFICIE di una "campana" rovesciata con vertice in z=1 privata del suo speculare con z negativi e tale che il raggio massimo della circonferenza della campana sia 2. giusto?
Ora prima di tutto domanda importantissima: il fatto che stiamo parlando di una superficie presuppone che la misura superficiale sia l'area di tale campana. E non il volume. Non ci interessa quello che c'è dentro. Quindi è legittimo aspettarsi un integrale in massimo 2 dimensioni. Giusto?
Secondo: il "tappo" della campana, vale a dire la circonferenza $x^2+y^2=4$ non contribuisce alla nostra area (il minore è stretto). Giusto?
Se quanto detto fin qui ha senso il procedimento è più o meno standard
parametrizzo tutto con $Phi(mu,nu)=(mu,nu,sqrt(mu^2+nu^2+1)$ e ottengo come "misura elementare" esattamente $d sigma=1 dmu dnu$. Conscio che sia un caso particolare che la norma del vettore $ partial_muPhi^^ partial_nuPhi $ sia unitaria, mi ritrovo a dover fare $ intintdmudnu $ . Porto in coordinate polari con rho tra 0 e 2 e phi tra 0 e 2pi e ottengo a vista $4pi$.
È corretto? Quello di cui non sono sicuro è se così sto o non sto considerando il tappo. Se sì, come faccio a escluderlo? Banalmente tolgo l'area del cerchio di raggio 2 (r^2pi)? Se no, come avrei dovuto fare a includerlo? Banalmente aggiugnengo l'area del cerchio?
Gracias
$E={(x,y,z) di R3 : x^2+y^2-z^2+1=0, z>0, x^2+y^2<4}$
innanzitutto che cos'è
sarebbe la SUPERFICIE di una "campana" rovesciata con vertice in z=1 privata del suo speculare con z negativi e tale che il raggio massimo della circonferenza della campana sia 2. giusto?
Ora prima di tutto domanda importantissima: il fatto che stiamo parlando di una superficie presuppone che la misura superficiale sia l'area di tale campana. E non il volume. Non ci interessa quello che c'è dentro. Quindi è legittimo aspettarsi un integrale in massimo 2 dimensioni. Giusto?
Secondo: il "tappo" della campana, vale a dire la circonferenza $x^2+y^2=4$ non contribuisce alla nostra area (il minore è stretto). Giusto?
Se quanto detto fin qui ha senso il procedimento è più o meno standard
parametrizzo tutto con $Phi(mu,nu)=(mu,nu,sqrt(mu^2+nu^2+1)$ e ottengo come "misura elementare" esattamente $d sigma=1 dmu dnu$. Conscio che sia un caso particolare che la norma del vettore $ partial_muPhi^^ partial_nuPhi $ sia unitaria, mi ritrovo a dover fare $ intintdmudnu $ . Porto in coordinate polari con rho tra 0 e 2 e phi tra 0 e 2pi e ottengo a vista $4pi$.
È corretto? Quello di cui non sono sicuro è se così sto o non sto considerando il tappo. Se sì, come faccio a escluderlo? Banalmente tolgo l'area del cerchio di raggio 2 (r^2pi)? Se no, come avrei dovuto fare a includerlo? Banalmente aggiugnengo l'area del cerchio?
Gracias
Risposte
niente tappo perchè non appartiene alla superficie
poi,non mi trovo con i tuoi calcoli
$P(x,y)=(x,y,sqrt(x^2+y^2+1))$
$J_1= -f_x= -x/sqrt(x^2+y^2+1)$
$J_2=-f_y= -y/sqrt(x^2+y^2+1)$
$J_3= 1$
$J_1^2+J_2^2+J_3^2=(2x^2+2y^2+1)/(x^2+y^2+1)$
poi,non mi trovo con i tuoi calcoli
$P(x,y)=(x,y,sqrt(x^2+y^2+1))$
$J_1= -f_x= -x/sqrt(x^2+y^2+1)$
$J_2=-f_y= -y/sqrt(x^2+y^2+1)$
$J_3= 1$
$J_1^2+J_2^2+J_3^2=(2x^2+2y^2+1)/(x^2+y^2+1)$
giusto, errore nel sommare i termini. Comunque ok, cambia il risultato che adesso fa: $(-log(5)/2+4)2pi$
quanto alla faccenda del tappo, capisco che non appartiene alla superficie dal "minore stretto" giusto?
se ci fosse l'uguale l'integrale sarebbe uguale al risultato trovato + $4pi$, giusto di nuovo?
grazie
quanto alla faccenda del tappo, capisco che non appartiene alla superficie dal "minore stretto" giusto?
se ci fosse l'uguale l'integrale sarebbe uguale al risultato trovato + $4pi$, giusto di nuovo?
grazie
se ci fosse stato il $leq$ avresti considerato anche la frontiera del tappo,che comunque ha misura nulla
quindi,il risultato sarebbe stato lo stesso
quindi,il risultato sarebbe stato lo stesso
ok allora: cosa avrebbe dovuto esserci scritto per farci considerare anche il tappo (non solo la frontiera ma proprio tutto il cerchio che ha misura nonnulla)? avremmo proprio dovuto aggiungere un'altra equazione ad E (tipo $z=sqrt(5)$)?
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