Calcolo misura dominio
Salve mi servirebbe un aiuto per risolvere questo quesito:
Calcolare la misura di D, sapendo che $@D ={(x;y) € R^2:(x^2 + y^2)^2 - x^2y =0, x>=0, y=0}$
e che in coordinate polari $D={0<=\Theta<=\pi/2 ; 0<=\rho<=cosx^2 *sinx}$.
Avevo cercato di risolvere l'esercizio facendo un integrale doppio lungo D: $dxdy$ poi avevo fatto il cambio di variabile mettendo $\rhod\rhod\Theta$ ma non riesco a torvarmi. Grazia in anticipo, mi scuso ma non sono riuscito a mettere il segno dell'integrale.
Calcolare la misura di D, sapendo che $@D ={(x;y) € R^2:(x^2 + y^2)^2 - x^2y =0, x>=0, y=0}$
e che in coordinate polari $D={0<=\Theta<=\pi/2 ; 0<=\rho<=cosx^2 *sinx}$.
Avevo cercato di risolvere l'esercizio facendo un integrale doppio lungo D: $dxdy$ poi avevo fatto il cambio di variabile mettendo $\rhod\rhod\Theta$ ma non riesco a torvarmi. Grazia in anticipo, mi scuso ma non sono riuscito a mettere il segno dell'integrale.
Risposte
Allora, se ho capito bene vuoi determinare la misura del seguente dominio
$$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ (x^2+y^2)^2-x^2y\le 0,\ x\ge 0,\ y\ge 0\right\}$$
Effettivamente l'idea di portare tutto in coordinate polari ha senso: con $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ otteniamo l'equazione della curva che delimita il dominio nella forma $\rho^4-\rho^3\cos^2\theta\sin\theta=0$ da cui, dividendo per $\rho^3$, $\rho=\cos^2\theta\sin\theta$. In tali coordinate il dominio può essere definito dalle limitazioni
$$\theta\in[0,\pi/2],\qquad 0\le\rho\le \cos^2\theta\sin\theta$$
e pertanto la sua misura diventa
$$\int_0^{\pi/2}\int_0^{\cos^2\theta\sin\theta}\rho\ d\rho\ d\theta=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\cos^4\theta\sin^2\theta\ d\theta$$
Ora per integrare la funzione trigonometrica così su due piedi direi che possiamo usare le formule trigonometriche seguenti
$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},\quad \cos^\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},\quad \sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$$
Il modo migliore è quello di scrivere
$$\cos^4\theta\sin^2\theta=\cos^2\theta\cdot(\cos\theta\sin\theta)^2=\frac{1+\cos2\theta}{2}\cdot\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1}{8}\left(\sin^2 2\theta+\cos2\theta\sin^2 2\theta\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{1+\cos 4\theta}{2}+\cos 2\theta\sin^2 2\theta\right)$$
e pertanto
$$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\cos^4\theta\sin^2\theta\ d\theta=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{16}\left(\frac{1+\cos 4\theta}{2}+\cos 2\theta\sin^2 2\theta\right)\ d\theta=\frac{1}{16}\left[\frac{\theta}{2}+\frac{1}{8}\sin(4\theta)+\frac{1}{6}\sin^3(2\theta)\right]_0^{\pi/2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{64}$$
$$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ (x^2+y^2)^2-x^2y\le 0,\ x\ge 0,\ y\ge 0\right\}$$
Effettivamente l'idea di portare tutto in coordinate polari ha senso: con $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ otteniamo l'equazione della curva che delimita il dominio nella forma $\rho^4-\rho^3\cos^2\theta\sin\theta=0$ da cui, dividendo per $\rho^3$, $\rho=\cos^2\theta\sin\theta$. In tali coordinate il dominio può essere definito dalle limitazioni
$$\theta\in[0,\pi/2],\qquad 0\le\rho\le \cos^2\theta\sin\theta$$
e pertanto la sua misura diventa
$$\int_0^{\pi/2}\int_0^{\cos^2\theta\sin\theta}\rho\ d\rho\ d\theta=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\cos^4\theta\sin^2\theta\ d\theta$$
Ora per integrare la funzione trigonometrica così su due piedi direi che possiamo usare le formule trigonometriche seguenti
$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},\quad \cos^\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},\quad \sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta)$$
Il modo migliore è quello di scrivere
$$\cos^4\theta\sin^2\theta=\cos^2\theta\cdot(\cos\theta\sin\theta)^2=\frac{1+\cos2\theta}{2}\cdot\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1}{8}\left(\sin^2 2\theta+\cos2\theta\sin^2 2\theta\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{1+\cos 4\theta}{2}+\cos 2\theta\sin^2 2\theta\right)$$
e pertanto
$$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\cos^4\theta\sin^2\theta\ d\theta=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{16}\left(\frac{1+\cos 4\theta}{2}+\cos 2\theta\sin^2 2\theta\right)\ d\theta=\frac{1}{16}\left[\frac{\theta}{2}+\frac{1}{8}\sin(4\theta)+\frac{1}{6}\sin^3(2\theta)\right]_0^{\pi/2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{64}$$
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