Calcolo MIN/MAX funzione (a 3 variabili) con due vincoli

[Jankav]

Ciao a tutti, spero di non violare qualche regolamento.

Ho questa funzione:
\(\displaystyle f(x,y,z) = xyz \)

e questi vincoli:
vincolo1:
\(\displaystyle x+y+z=1 \)

Vincolo 2
\(\displaystyle x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+2z^2x=0 \)

Ho provato il metodo dei multiplicatori di Lagrange, ma dopo svariati tentativi mi viene vuoi un sistema davvero complesso(a mia opinione) per trovare i punti stazionari. (vi posto l'immagine del sistema)

Immagine sistema: (non riesco a ridimensionare le immagini con i tag di phpbb)
https://i.stack.imgur.com/YfJ5w.jpg

Avete qualche idea o suggerimento almeno per trovare i punti stazionari?

grazie in anticipo

[Quinzio]

Ciao,
dovresti provare con queste trasformazioni, da far in sequenza:
$(x,y,z)-> (x,y+z,z)$
$(x,y,z)-> (x+y, x-y, z)$
$(x,y,z)-> (x,y, 1/2-x)$

Poi con un tool grafico si vede bene che ci sono due massimi in
$(0,1,0)$ e
$(1,0,0)$
In quei punti ovviamente hai che $f(x,y,z) = xyz = 0$.

In qualche modo si intuisce che ci potrebbero essere degli estremi sugli assi perche' il vincolo 2 non
ha soluzioni se tutte le coordinate sono positive (nel primo ottante), e in modo simile nel settimo ottante dove tutte le coordinate sono negative. Quindi sulla frontiera di questi ottanti e' facile che ci siano degli estremi.

Volendo e con un po' di pazienza si dovrebbe riuscire anche a trovare la soluzione analiticamente, perche'
la $z$ scompare (sarebbe la proiezione del vincolo 2 sul piano) e poi si riesce ad esplicitare una funzione $y=g(x)$.
Si tratta di fare tutte le trasformazioni e di semplificare (magari con l'aiuto di qualche tool automatico).

Se questo e' sufficiente dipende da cosa devi fare: se questo problema fa parte di un contesto piu' ampio, se e' solo un esercizio dal libro, ecc...