Calcolo Minimo Assoluto
sia $f(x)= log(x^2-1) + (2x^2)/(x^2-1);$ calcolare il minimo assoluto in $]1, +infty[$
$f'(x)= (2x)/(x^2-1)+[4x*(x^2-1)-2x^2*(2x)]/[(x^2-1)^2]= (2x)/(x^2-1)+(4x^3-4x-4x^3)/(x^2-1)^2 $
$= [2x(x^2-1)-4x]/[(x^2-1)^2] = [2x^3-6x]/[(x^2-1)^2];$
ammesso che i calcoli svolti da me sono corretti ...
a questo punto devo verificare dapprima per quali eventuali $x in ]1, +infty[$ la derivata si annulli... giusto ?
$f'(x)= (2x)/(x^2-1)+[4x*(x^2-1)-2x^2*(2x)]/[(x^2-1)^2]= (2x)/(x^2-1)+(4x^3-4x-4x^3)/(x^2-1)^2 $
$= [2x(x^2-1)-4x]/[(x^2-1)^2] = [2x^3-6x]/[(x^2-1)^2];$
ammesso che i calcoli svolti da me sono corretti ...
a questo punto devo verificare dapprima per quali eventuali $x in ]1, +infty[$ la derivata si annulli... giusto ?
Risposte
Sei proprio sicuro che la derivata della tua funzione sia quella? Ricontrolla bene i calcoli.
"v.tondi":
Sei proprio sicuro che la derivata della tua funzione sia quella? Ricontrolla bene i calcoli.
ho editato
c'era un prodotto che nella velocità del calcolo mi è sfuggito.
cmq ritornando in topic...
cosa mi potresti dire
!
Che appunto devi vedere dove si annulla la derivata. O meglio, studiati il segno ( che tanto dipende solo dal numeratore ). Se la - passa a + hai un minimo, altrimenti un massimo.
Per il minimo assoluto, vedi i valori assunti dalla f in tali minimi relativi... e li confronti.
PS: Ovviamente controlla dove va sta f a $+oo$ e $-oo$, e nei punti di discontinuità!
Per il minimo assoluto, vedi i valori assunti dalla f in tali minimi relativi... e li confronti.
PS: Ovviamente controlla dove va sta f a $+oo$ e $-oo$, e nei punti di discontinuità!
"pater46":
Che appunto devi vedere dove si annulla la derivata. O meglio, studiati il segno ( che tanto dipende solo dal numeratore ). Se la - passa a + hai un minimo, altrimenti un massimo.
Per il minimo assoluto, vedi i valori assunti dalla f in tali minimi relativi... e li confronti.
PS: Ovviamente controlla dove va sta f a $+oo$ e $-oo$, e nei punti di discontinuità!
quindi $2x^3-6x>0$ ?!
Scusa potresti rifare il calcolo della tua derivata.
"v.tondi":
Scusa potresti rifare il calcolo della tua derivata.
è corretto!
ora è giusto... mancava un indice perchè copiando il testo nella seconda funzione è $x^2$ al numeratore!"
grazie
cmq Pater cosa significa se la meno passa a più ?
Scusa.. volevo dire se DA negativa passa A positiva 
Esatto comunque. $x(2x^2 -6)>0$. Ovvero $x(\sqrt(2)x+3)(\sqrt(2)x-3)>0$ Studiatela, e vedi dove è positiva e dove è negativa.
Se da negativa passa a positiva, allora vedendola da sinistra verso destra, la tua curva prima scende e poi sale. Ergo ha un minimo.
Viceversa, un massimo. ( RELATIVO ). Vedi i valori che assume la funzione in questi punti di minimo e ti trovi quello assoluto.
Comunque, se hai un asintoto in cui la funzione ti tende a $-oo$ ovviamente non avrai un minimo assoluto, ma un estremo inferiore! ( $-oo$ )
Esatto comunque. $x(2x^2 -6)>0$. Ovvero $x(\sqrt(2)x+3)(\sqrt(2)x-3)>0$ Studiatela, e vedi dove è positiva e dove è negativa.
Se da negativa passa a positiva, allora vedendola da sinistra verso destra, la tua curva prima scende e poi sale. Ergo ha un minimo.
Viceversa, un massimo. ( RELATIVO ). Vedi i valori che assume la funzione in questi punti di minimo e ti trovi quello assoluto.
Comunque, se hai un asintoto in cui la funzione ti tende a $-oo$ ovviamente non avrai un minimo assoluto, ma un estremo inferiore! ( $-oo$ )
"pater46":
Scusa.. volevo dire se DA negativa passa A positiva
Esatto comunque. $x(2x^2 -6)>0$. Ovvero $x(\sqrt(2)x+3)(\sqrt(2)x-3)>0$ Studiatela, e vedi dove è positiva e dove è negativa.
perdona le mie lacune "algebriche" ma non va studiata come $ x(2x^2-6)$ $->$ $ x>0$ $(2x^3-6)>0$
$(\sqrt(2)x+3)(\sqrt(2)x-3) $ <--come hai ottenuto questo? hai diviso.. cosa hai fatto di preciso
?
Scomposizione. $(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$
PS: tra l'altro ho sbagliato, scusami. sarebbe
$2x(x^2-3) = 2x(x+\sqrt(3))(x-\sqrt(3)$
Come fai a studiare quella di terzo grado? Così che hai fattorizzato il tuo polinomio, ti basta studiare i singoli:
$x>0$
$x>\sqrt(3)$
$x>-\sqrt(3)$
PS: tra l'altro ho sbagliato, scusami. sarebbe
$2x(x^2-3) = 2x(x+\sqrt(3))(x-\sqrt(3)$
Come fai a studiare quella di terzo grado? Così che hai fattorizzato il tuo polinomio, ti basta studiare i singoli:
$x>0$
$x>\sqrt(3)$
$x>-\sqrt(3)$
"pater46":
Scomposizione. $(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$
PS: tra l'altro ho sbagliato, scusami. sarebbe
$2x(x^2-3) = 2x(x+\sqrt(3))(x-\sqrt(3))$
Come fai a studiare quella di terzo grado? Così che hai fattorizzato il tuo polinomio, ti basta studiare i singoli:
$x>0$
$x>\sqrt(3)$
$x>-\sqrt(3)$
in questo che hai scritto $(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$ non lo vedo la corrispondenza $a,b$ in $ (x^2-3) $
come no?
$a = x \to a^2 = x^2$
$b = \sqrt(3) \to b^2 = 3$
$a = x \to a^2 = x^2$
$b = \sqrt(3) \to b^2 = 3$
"pater46":
come no?
$a = x \to a^2 = x^2$
$b = \sqrt(3) \to b^2 = 3$
mi era sfuggito questo escamotage per ricondurci alla differenza di quadrati....
$(a^2-b)= ( a^2-[sqrt(b)]^2)$
torna spesso utile!
"pater46":
Scomposizione. $(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$
PS: tra l'altro ho sbagliato, scusami. sarebbe
$2x(x^2-3) = 2x(x+\sqrt(3))(x-\sqrt(3)$
Come fai a studiare quella di terzo grado? Così che hai fattorizzato il tuo polinomio, ti basta studiare i singoli:
$x>0$
$x>\sqrt(3)$
$x>-\sqrt(3)$
come mai la studi in tutti e due i casi con $>$ io pensavo che il secondo caso venisse $ x < - sqrt(3) $
cmq studiando così viene negativa per $ x in ]-infty , - sqrt(3) 0, sqrt(3)[$ e positiva per $ x in ]-sqrt(3) , 0 [ u ] sqrt(3), +infty [$
a questo punto in passato ho usato svolgere l'analisi del determinato intorno del generico punto "critico" per capire se è di massimo o di minimo relativo..
il punto $x=0$ così risulterebbe di massimo ... mentre i due punti $ x= -sqrt(3) $ e $ x=sqrt(3)$ di minimo relativi....
il valore minimo mi deve risultare secondo il testo $0$ , ma non so come arrivarci da quì....
La derivata è $(2x(x^2-3))/(x^2-1)^2$. Devi studiare tale espressione ponendola $>0$. Il primo fattore è positivo per $x>0$, il secondo fattore è positivo per $x<-sqrt(3)vvx>+sqrt(3)$, il denominatore è positivo per $AA x in RR-{-1,+1}$. Adesso fai il prodotto dei segni escludendo gli intervalli dove la funzione di partenza non è definita e gli intervalli che all'esercizio non interessano.
Aspetta aspetta... Io ti ho scritto le condizioni, non il risultato!
Se fai il prodotto dei segni tra le condizioni:
$x> \sqrt(3)$
$x> -\sqrt(3)$
Viene proprio fuori il risultato $x< -\sqrt(3) \cup x> \sqrt(3)$
Se fai il prodotto dei segni tra le condizioni:
$x> \sqrt(3)$
$x> -\sqrt(3)$
Viene proprio fuori il risultato $x< -\sqrt(3) \cup x> \sqrt(3)$
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