Calcolo massimi/minimi funzione n variabili
Premetto che osno un niubbio dell'analisi 2.Sono entrato da poco in questa materia.Mi è capitato sotto mano un esercizio del genere:
Calcolare gli estremi relativi della seguente funzione:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)-y$
In calce all'esercizio vi è scritto: "Si consiglia di non calcolare le derivate parziali seconde".
Ma per calcolare i max e min di una funzione di n variabili si devono conoscere anche le derivate parziali seconde. oppure c'è qualche teorema di cui sconosco l'esistenza che pernette di calcolare max e min senza conoscere le derivate parziali seconde?
Calcolare gli estremi relativi della seguente funzione:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)-y$
In calce all'esercizio vi è scritto: "Si consiglia di non calcolare le derivate parziali seconde".
Ma per calcolare i max e min di una funzione di n variabili si devono conoscere anche le derivate parziali seconde. oppure c'è qualche teorema di cui sconosco l'esistenza che pernette di calcolare max e min senza conoscere le derivate parziali seconde?
Risposte
Le derivate parziali seconde, pure e miste, sono gli elementi della matrice hessiana.
Prima però devi calcolare le deriate parziali prime per trovare i punti critici..
Prima però devi calcolare le deriate parziali prime per trovare i punti critici..
"mazzy89":
Ma per calcolare i max e min di una funzione di n variabili si devono conoscere anche le derivate parziali seconde. oppure c'è qualche teorema di cui sconosco l'esistenza che pernette di calcolare max e min senza conoscere le derivate parziali seconde?
[OT]
"Sconosco": bello! Mi ricorda la neolingua da "1984" di G. Orwell: perché dovremmo dire "meraviglioso" o, al contrario, "cattivo" se possiamo dire invece plusbuono o sbuono?
[/OT]Ad ogni modo, quello di calcolare le derivate seconde non è l'unico modo possibile di trovare massimi e minimi. Ci sono metodi basati sulle sole derivate prime, che però stranamente sono poco diffusi. Un po' di materiale lo trovi qui:
http://img19.imageshack.us/i/marcellini ... hessi.pdf/
(leggi a partire da "Un altro metodo ..." )
Bene si infatti avevo già calcolato le derivata parziali $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$ e mettendole poi a sistema si ha:
${(x/sqrt(x^2+y^2)=0),((y-sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))=0):}$
risolvendo il sistema si trovano i punti critici.e quì ci sono altri problemi.come si risolve $x/sqrt(x^2+y^2)=0$
${(x/sqrt(x^2+y^2)=0),((y-sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))=0):}$
risolvendo il sistema si trovano i punti critici.e quì ci sono altri problemi.come si risolve $x/sqrt(x^2+y^2)=0$
"dissonance":
[quote="mazzy89"]Ma per calcolare i max e min di una funzione di n variabili si devono conoscere anche le derivate parziali seconde. oppure c'è qualche teorema di cui sconosco l'esistenza che pernette di calcolare max e min senza conoscere le derivate parziali seconde?
[OT]
"Sconosco": bello! Mi ricorda la neolingua da "1984" di G. Orwell: perché dovremmo dire "meraviglioso" o, al contrario, "cattivo" se possiamo dire invece plusbuono o sbuono?
[/OT]Ad ogni modo, quello di calcolare le derivate seconde non è l'unico modo possibile di trovare massimi e minimi. Ci sono metodi basati sulle sole derivate prime, che però stranamente sono poco diffusi. Un po' di materiale lo trovi qui:
http://img19.imageshack.us/i/marcellini ... hessi.pdf/
(leggi a partire da "Un altro metodo ..." )[/quote]
ti ringrazio per il link ora mi ci butto sopra e lo leggo.ma comunque [OT] il termine "sconosco" deriva dal verbo sconoscere,verbo che puoi trovare benissimo in qualsiasi dizionario serio come il devoto-oli.Per i neologismi passiamo su di un altro forum e poi ne parliamo un pò cominciando con il grande montale[/OT]
come si risolve $x/sqrt(x^2+y^2)=0$
$x=0$, il denominatore non ha problemi tranne in $(x,y)=(0,0)$ perciò occhio a quel valore
"Fox":
$x=0$, il denominatore non ha problemi tranne in $(x,y)=(0,0)$ perciò occhio a quel valore
infatti come avevo risolto io.avevo un paio di dubbi ma niente di che.ed invece:
$(y-sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))=0$
considerando il numeratore si ha:
$sqrt(x^2+y^2)=y => x^2+y^2=y^2 => x^2=0 => x=0$ esatto?
"mazzy89":
considerando il numeratore si ha:
$sqrt(x^2+y^2)=y => x^2+y^2=y^2 => x^2=0 => x=0$ esatto?
Ti manca un $y > 0$, altrimenti il primo passaggio non puoi farlo.
"Gatto89":
[quote="mazzy89"]
considerando il numeratore si ha:
$sqrt(x^2+y^2)=y => x^2+y^2=y^2 => x^2=0 => x=0$ esatto?
Ti manca un $y > 0$, altrimenti il primo passaggio non puoi farlo.[/quote]
si giusto mancava all'appello questa condizione.così il punto critico è $(0,0)$ esatto?
Attento...
questo va bene, dunque devi trovare tutte le soluzioni che risolvono il sistema.
dalla prima equazione ottieni come soluzioni $(x=0,y\ne0)$
la seconda diventa, sostituendo quello trovato dalla prima: $[y-|y|]/[|y|]=0$
e dato che $y$ è già diverso da $0$ non hai problemi, puoi risolvere $y-|y|=0$ e vedere che ti viene...
"mazzy89":
Bene si infatti avevo già calcolato le derivata parziali $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$ e mettendole poi a sistema si ha:
${(x/sqrt(x^2+y^2)=0),((y-sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))=0):}$
risolvendo il sistema si trovano i punti critici.
questo va bene, dunque devi trovare tutte le soluzioni che risolvono il sistema.
dalla prima equazione ottieni come soluzioni $(x=0,y\ne0)$
la seconda diventa, sostituendo quello trovato dalla prima: $[y-|y|]/[|y|]=0$
e dato che $y$ è già diverso da $0$ non hai problemi, puoi risolvere $y-|y|=0$ e vedere che ti viene...
"Fox":
Attento...
[quote="mazzy89"]Bene si infatti avevo già calcolato le derivata parziali $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$ e mettendole poi a sistema si ha:
${(x/sqrt(x^2+y^2)=0),((y-sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))=0):}$
risolvendo il sistema si trovano i punti critici.
questo va bene, dunque devi trovare tutte le soluzioni che risolvono il sistema.
dalla prima equazione ottieni come soluzioni $(x=0,y\ne0)$
la seconda diventa, sostituendo quello trovato dalla prima: $[y-|y|]/[|y|]=0$
e dato che $y$ è già diverso da $0$ non hai problemi, puoi risolvere $y-|y|=0$ e vedere che ti viene...[/quote]
risolvendo $y-|y|=0$ essa e è verificata per ogni $y in RR^+ // 0$ . a questo punto il sistema è indeterminato. e quindi non si ha nessun punto critico.
E no, tutti i punti appartenenti all'asse positivo delle $y$ (fatta eccezione dell'origine), sono punti critici....
lo vedi anche da te, se scegli qualsiasi punto posto sull'asse positivo delle $y$ eccetto l'origine, si verifica l'annullamento del gradiente!
lo vedi anche da te, se scegli qualsiasi punto posto sull'asse positivo delle $y$ eccetto l'origine, si verifica l'annullamento del gradiente!
"Alexp":
E no, tutti i punti appartenenti all'asse positivo delle $y$ (fatta eccezione dell'origine), sono punti critici....
lo vedi anche da te, se scegli qualsiasi punto posto sull'asse positivo delle $y$ eccetto l'origine, si verifica l'annullamento del gradiente!
si che stupido.ce l'avevo davanti la soluzione.ora ritorno alla domanda precedente.non potendomi trovare le derivate parziali secondo dato che il mio prof ha consigliato di non calcolarle, come posso costruirmi la matrice hessiana?
ma secondo voi conviene calcolarle le derivate parziali secondo anche se il mio prof ha scritto espressamente sul compito di non calcolarle?sarebbe troppo lunghi i calcoli?
ok azzardo una spiegazione senza calcolare le derivate seconde...
Intanto guardo come sono messi tra di loro questi punti critici...
perciò considero la restrizione di $f(x,y)$ all'insieme dei punti critici e ottengo $f(0,y)=|y|-y \ \ \ \forall y>0$ che è identicamente $0$
quindi stanno tutti sullo stesso livello $0$.
A questo punto vorrei sapere se sono di massimo o di minimo o altro, quindi mi serve guardare che succede nell'intorno di quei punti, ok?
e che mi dici?
Intanto guardo come sono messi tra di loro questi punti critici...
perciò considero la restrizione di $f(x,y)$ all'insieme dei punti critici e ottengo $f(0,y)=|y|-y \ \ \ \forall y>0$ che è identicamente $0$
quindi stanno tutti sullo stesso livello $0$.
A questo punto vorrei sapere se sono di massimo o di minimo o altro, quindi mi serve guardare che succede nell'intorno di quei punti, ok?
e che mi dici?
il problema principale è che per trovare i massimi e i minimi di una funzione non si può partire spediti annullando le derivate. Faccio un esempio scemo scemo: la funzione $f(x)=arctan(x^3)$ se la derivi si annulla solo in 0, però il sup è $\pi/2$, è l'inf è $\-pi/2$. Quindi in genere i massimi e i minimi non si trovano annullando le derivate. Uno può dire che in una variabile se lo sa gestire ad occhio la situazione, per cui magari in questo caso te ne accorgevi da solo che i massimi e i minimi (o meglio i sup e gli inf) non si ottenevano annullando le derivate, però in + variabili la situazione non è molto gestibile "a occhio". Tutto questo solo per dire che in realtà ogni volta che hai una funzione prima devi dimostrare che il massimo o il minimo esistono (se esistono, perchè potrebbero capitare casi in cui c'è un inf e un sup e lì devi avere la capacità di trovare un modo di calcolarli se te lo richiede), ma se dimostri che esiste il massimo oppure esiste il minimo (magari non esistono tutti e 2) per calcolarli, SE stai in un insieme aperto (come ad esempio $R^2$) allora puoi annullare le derivate, altrimenti devi prima restringerti ai punti interni (dove annulli il gradiente) e poi controllare nella frontiera. E' importante ribadire che tutto ciò lo puoi fare se sai se sei in un aperto perchè se, ad esempio, il dominio fosse stato ${x^2+y^2<=1}$ ,dopo aver dimostrato che esiste il minimo dovevi prima annullare le derivate prima nella regione ${x^2+y^2<1}$, cioè dovevi escludere i valori (x, y) che annullavano le derivate ma per cui non valeva $x^2+y^2<1$, e poi dovevi vedere $f(x, y)$ nella regione ${x^2+y^2=1}$, ad esempio sostituendo a $y$ prima $\sqrt(1-x^2)$ e poi $-\sqrt(1-x^2)$.
In questo caso ad esempio esiste il massimo, esiste il minimo?
come ti ha suggerito Fox se consideri $f(0, y)=|y|-y$ e poi consideri $y$ negativo, |y|-y avra segno positivo.. e secondo te potresti limitarlo , o invece potrebbe essere grosso a piacere? e se $f(0, y)$ può essere grosso a piacere, allora può esistere il massimo? per il minimo, tra $|y|$ e $\sqrt(x^2+y^2)$, potresti dire a priori chi è più grande? certo, nella funzione c'è $y$ e non $|y|$, ma allora ti basterà discutere il caso $y$ positivo e il caso $y$ negativo... se hai capito bene i consigli che ti ho dato allora per calcolare il minimo non dovrai neanche dimostrare che il minimo esiste e poi annullare il gradiente (poichè, RICORDA BENE, in tal caso lo potresti fare perchè sei in $R^2$, che è un aperto) , ma potresti usare questa tecnica: supponiamo che tu abbia trovato un vaore $a$ per cui hai dimostrato che $f(x, y)>=a$ (e se finora mi hai seguito allora hai capito di cosa si tratta $a$...), allora ti basterebbe trovare dei valori particolari (x,y) per cui si vede a occhio per cui che $f(x, y)=a$. In questo caso quale sarebbe questi valori molto particolari?
spero che ti abbia chiarito le idee...
In questo caso ad esempio esiste il massimo, esiste il minimo?
come ti ha suggerito Fox se consideri $f(0, y)=|y|-y$ e poi consideri $y$ negativo, |y|-y avra segno positivo.. e secondo te potresti limitarlo , o invece potrebbe essere grosso a piacere? e se $f(0, y)$ può essere grosso a piacere, allora può esistere il massimo? per il minimo, tra $|y|$ e $\sqrt(x^2+y^2)$, potresti dire a priori chi è più grande? certo, nella funzione c'è $y$ e non $|y|$, ma allora ti basterà discutere il caso $y$ positivo e il caso $y$ negativo... se hai capito bene i consigli che ti ho dato allora per calcolare il minimo non dovrai neanche dimostrare che il minimo esiste e poi annullare il gradiente (poichè, RICORDA BENE, in tal caso lo potresti fare perchè sei in $R^2$, che è un aperto) , ma potresti usare questa tecnica: supponiamo che tu abbia trovato un vaore $a$ per cui hai dimostrato che $f(x, y)>=a$ (e se finora mi hai seguito allora hai capito di cosa si tratta $a$...), allora ti basterebbe trovare dei valori particolari (x,y) per cui si vede a occhio per cui che $f(x, y)=a$. In questo caso quale sarebbe questi valori molto particolari?
spero che ti abbia chiarito le idee...
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