Calcolo massimi e minimi relativi e assoluti
La funzione è questa $ f(x,y)= y^2 - 2y +1 +x^2 $ sul dominio $ (y-1)^2 + 4x^2 - 4 <= 0 $ .
Ho fatto derivate prime e seconde ottenendo come punto critico il punto (0,1) e ottengo f(0,1)=0.Dalle derivate seconde ottengo la matrice Hessiana con determinante positivo quindi ho un minimo relativo.
Per vedere minimi e massimi assoluti ho pensato al dominio ottendendo $ 4x^2 + (y-1)^2 <=4 $ e quindi la circonferenza ha gli estremi di $ -1<=y<=3 $ e $ -2 <= x <=2 $ .quindi ipotizzo y=0 e dopo x=0 e arrivo ad avere
f(0,-1)=4 , f(0,3)=4 , f(-2,0)=5 , f(2,0)=5.
Riassumendo f(0,1)=0 è minimo assoluto e f(+-2,0)=5 è un massimo assoluto.
L'ho risolto bene?
Ho fatto derivate prime e seconde ottenendo come punto critico il punto (0,1) e ottengo f(0,1)=0.Dalle derivate seconde ottengo la matrice Hessiana con determinante positivo quindi ho un minimo relativo.
Per vedere minimi e massimi assoluti ho pensato al dominio ottendendo $ 4x^2 + (y-1)^2 <=4 $ e quindi la circonferenza ha gli estremi di $ -1<=y<=3 $ e $ -2 <= x <=2 $ .quindi ipotizzo y=0 e dopo x=0 e arrivo ad avere
f(0,-1)=4 , f(0,3)=4 , f(-2,0)=5 , f(2,0)=5.
Riassumendo f(0,1)=0 è minimo assoluto e f(+-2,0)=5 è un massimo assoluto.
L'ho risolto bene?
Risposte
prima di tutto,la frontiera del dominio è un'ellisse di centro $(0,1)$ e che interseca l'asse delle x nei punti di ascissa $+-sqrt3/2$ e l'asse delle y nei punti di ordinata $3$ e $-1$
$f(x,y)=(y-1)^2+x^2$ e quindi per il suo studio sulla frontiera ti riconduci allo studio di $g(x)=4-4x^2+x^2;-sqrt3/2leqxleqsqrt3/2$
$f(x,y)=(y-1)^2+x^2$ e quindi per il suo studio sulla frontiera ti riconduci allo studio di $g(x)=4-4x^2+x^2;-sqrt3/2leqxleqsqrt3/2$
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