Calcolo massimi e minimi

[Ryuzaky*]

Ciao a tutti !
Ho problemi col calcolo dei punti critici della funzione :

$F_{(x,y)}=sin(x)cos(x+y)$

il gradiente è : $\gradF_{(x,y)}=(cos(x)cos(x+y)-sin(x)sin(x+y), -sin(x)sin(x+y))$

Ora dovrei risolvere il sistema :
$cos(x)cos(x+y)-sin(x)sin(x+y)=0$
$ -sin(x)sin(x+y)=0$

cioè $sin(x)$ + combinazioni che annullano la prima eq. e $sin(x+y)$ + combinazioni che annullano la prima eq.
procedendo in questo modo ottengo nel primo caso il sistema (quelli del tipo $sin(\alpha)=0,cos(\alpha)=0$ non hanno soluzioni):

$sin(x)=0$
$cos(x+y)=0$

e nel secondo :

$sin(x+y)=0$
$cos(x)=0$

ora invece la soluzione che mi da il libro è l'unione dei miei due sistemi + l'unione di questi :

$sin(x)=0$
$cos(x)cos(x+y)=0$

$sin(x+y)=0$
$cos(x)cos(x+y)=0$

ma non capisco come le ha ricavate qualcuno può illuminarmi ?

[Lorin1]

Io per $cos(x)cos(x+y)-sin(x)sin(x+y)$ avrei applicato la formula di addizione del coseno vedendo $\alpha=x , \beta=(x+y)$, otteniamo: $cos(2x+y)=0$.

[Ryuzaky*]

Il problema principale e che non capisco da dove escono i sistemi che mi mette :/

[Lorin1]

guarda che è facile...
Prendi la seconda equazione del sistema, cioè: $sinxsin(x+y)=0$. Se fai caso coincide proprio col secondo pezzo della prima equazione e dato che vale zero, questo implica che nella prima equazione avrai $cosxcos(x+y)=0$ da cui ricavi

$cosx=0$ oppure $cos(x+y)=0$

basta risolvere il sistema per sostituzione...