Calcolo Massimi e Minimi 2 variabili
Ciao !
Ho questa funzione e devo trovare max e minimi relativi/assoluti nel suo campo di esistenza.
$(x-4) (y-1)^2 +1 $
facendo qualche calcolo ottengo
$(xy^2-4y^2-2xy-x+8y-2)$
la derivata prima parziale rispetto a x = $(y^2-2y-1)$
la derivata prima parziale rispetto a y = $(x2y -8y-2x+8)$
prima di continuare... vorrei sapere se è tutto corretto
grazie mille in anticipo
Ho questa funzione e devo trovare max e minimi relativi/assoluti nel suo campo di esistenza.
$(x-4) (y-1)^2 +1 $
facendo qualche calcolo ottengo
$(xy^2-4y^2-2xy-x+8y-2)$
la derivata prima parziale rispetto a x = $(y^2-2y-1)$
la derivata prima parziale rispetto a y = $(x2y -8y-2x+8)$
prima di continuare... vorrei sapere se è tutto corretto
grazie mille in anticipo
Risposte
ATTENZIONE.. $ (\partial f)/(\partial x) ((x-4)(y-1)^2+1)=(y-1)^2 =y^2+1-2y$
pensala così .. $ (\partial f)/(\partial x) ((x-4)(a-1)^2+1)) $
quando derivi in $x$ le altre variabili sono costanti!.. stessa cosa quando derivi in $y$..
NON ho guardato la derivata parziale rispetto a y..
pensala così .. $ (\partial f)/(\partial x) ((x-4)(a-1)^2+1)) $
quando derivi in $x$ le altre variabili sono costanti!.. stessa cosa quando derivi in $y$..
NON ho guardato la derivata parziale rispetto a y..
Ok l'errore nella prima derivata mi torna.... E' sulla seconda derivata che ho ancora dubbi... perchè se è giusta come ho calcolato io il gradiente mi restituisce un punto 1,0 e seguendo tutte le procedure per la risoluzione mi esce che la funzione è semidefinita quindi non posso dire nulla a riguardo della natura di (x,y). Torna anche a te cosi ?
Purtroppo questo è sicuramente un esercizio della prova d'esame. devo saperlo svolgere come una preghiera.
grazie mille per l'aiuto !
Purtroppo questo è sicuramente un esercizio della prova d'esame. devo saperlo svolgere come una preghiera.
grazie mille per l'aiuto !
ha i una funzione in 2 variabili.. quindi avrai una matrice hessiana 2x2
Ti dico cosa ci disse l'esercitatore
Teorema
sia $ f: \Omega (\subseteq RR^2)\to RR^2 $, con $\Omega$ aperto
e sia f due volte differenziabile nel punto stazionario $ \ul(x)\in RR^2 $
Allora
CASO 1
SE $ det Hf(\ul(x))< 0 \rArr \text{sella} $
CASO 2
SE $ det Hf(\ul(x))>0 \rArr \text{il punto è estremante e per sapere se max o min, bisogna distinguere 2 casi } $
se nel secondo caso, il primo elemento della matrice hessiana è $ \text{positivo} \rArr \text{p.to di min} $
se nel secondo caso, il primo elemento della matrice hessiana è $ \text{negativo} \rArr \text{p.to di max} $
Ti dico cosa ci disse l'esercitatore
Teorema
sia $ f: \Omega (\subseteq RR^2)\to RR^2 $, con $\Omega$ aperto
e sia f due volte differenziabile nel punto stazionario $ \ul(x)\in RR^2 $
Allora
CASO 1
SE $ det Hf(\ul(x))< 0 \rArr \text{sella} $
CASO 2
SE $ det Hf(\ul(x))>0 \rArr \text{il punto è estremante e per sapere se max o min, bisogna distinguere 2 casi } $
se nel secondo caso, il primo elemento della matrice hessiana è $ \text{positivo} \rArr \text{p.to di min} $
se nel secondo caso, il primo elemento della matrice hessiana è $ \text{negativo} \rArr \text{p.to di max} $
Una nota:
$ (partialf)/(partialx)=(y-1)^2=0 $ nei punti $ (x,1)" "AAx\inRR $.
$ (partialf)/(partialy)=2(x-4)(y-1)=0 $ per tutti i punti $ (4,y)" "AAyinRR $ oppure $ (x,1)" "AAx\inRR $.
Quindi i punti che devi considerare quali candidati sono tutti i punti $ (x,1) $ con $ x\inRR $ (in tali punti si annullano entrambe le derivate)
$ (partialf)/(partialx)=(y-1)^2=0 $ nei punti $ (x,1)" "AAx\inRR $.
$ (partialf)/(partialy)=2(x-4)(y-1)=0 $ per tutti i punti $ (4,y)" "AAyinRR $ oppure $ (x,1)" "AAx\inRR $.
Quindi i punti che devi considerare quali candidati sono tutti i punti $ (x,1) $ con $ x\inRR $ (in tali punti si annullano entrambe le derivate)
Grazie mille! Solo un ultimo piacere.. come mai devo prendere in considerazione solo $ (x,1) $ ?
e ad ogni modo l'hessiana mi risulta con determinante=0 ... è possibile ?
e ad ogni modo l'hessiana mi risulta con determinante=0 ... è possibile ?
I candidati per i massimi e minimi sono i punti dove si annullano contemporaneamente entrambe le derivate. A me risulta che tali punti siano (x,1).
L'hessiana risulta effettivamente avere il determinante nullo per (x,1). Quindi passerei ad un altra maniera di procedere.
Per $ x>4 $ noto che:
$ f(x,y)>=f(x,1)=1 $ in quanto nell'espressione di f(x,y) i fattori $ (x-4) $ et $ (y-1)^2 $ sono positivi. Quindi i punti $ (x,1) $ per $ x>4 $ sono minimi.
Per $ x<4 $ si ha:
$ f(x,y)<=f(x,1)=1 $ in quanto nell'espressione di f(x,y) il fattore $ (x-4)<0 $. Quindi i punti $ (x,1) $ per $ x<4 $ sono massimi.
Per $ (4,1) $ direi che non puo' essere ne' un massimo ne' un minimo in quanto in ogni suo intorno cadono punti nei quali la funzione e' maggiore di f(4,1) e altri nei quali e' minore.
A me risulta cosi', prova a controllare il tutto, casomai abbia fatto qualche errore.
L'hessiana risulta effettivamente avere il determinante nullo per (x,1). Quindi passerei ad un altra maniera di procedere.
Per $ x>4 $ noto che:
$ f(x,y)>=f(x,1)=1 $ in quanto nell'espressione di f(x,y) i fattori $ (x-4) $ et $ (y-1)^2 $ sono positivi. Quindi i punti $ (x,1) $ per $ x>4 $ sono minimi.
Per $ x<4 $ si ha:
$ f(x,y)<=f(x,1)=1 $ in quanto nell'espressione di f(x,y) il fattore $ (x-4)<0 $. Quindi i punti $ (x,1) $ per $ x<4 $ sono massimi.
Per $ (4,1) $ direi che non puo' essere ne' un massimo ne' un minimo in quanto in ogni suo intorno cadono punti nei quali la funzione e' maggiore di f(4,1) e altri nei quali e' minore.
A me risulta cosi', prova a controllare il tutto, casomai abbia fatto qualche errore.
Grazie mille ad ogni modo
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