Calcolo lunghezza di una curva

[Uomosenzasonno]

Ragazzi buonasera a tutti.
Volevo chiedervi se avete idee sul come risolvere il seguente esercizio:

Calcolare la lunghezza della curva cartesiana $gamma$ il cui supporto è grafico della seguente funzione:

$y =x/(x+1)*sin(1/x)$ con $x in (0,1]$

In teoria la detta $phi(t)$ una parametrizzazione di $f(x)$, la lunghezza della curva la posso ottenere calcolando:

$int_(0)^(1) ||phi'(t)||dt$

Ma ponendo $x = t$, quello che viene fuori è vagamente improponibile.

Idee?

[Quinzio]

Idee?

Onestamente no.
Non escluderei neanche che quella curva possa avere lunghezza infinita per $x \to 0$.

[Quinzio]

Anzi mi sembra proprio che questa curva ha lunghezza infinita.
Se prendiamo la funzione nei punti

$x_k = 2/(\pi+2k\pi)$, $k \in ZZ$

abbiamo che la funzione vale

$f(x_k) =(2(-1)^k)/(2+\pi+2k\pi)$

In un intervallo $x=[2/(\pi+2k\pi), 2/(3\pi+2k\pi)]$

abbiamo anche che la lunghezza del grafico della curva è sicuramente maggiore di una quantità:

$\l([x_k,x_{k+1}])>(4)/(2+\pi+2k\pi)$

Per cui anche la lunghezza del grafico è maggiore di:

$l((0,1])>\sum_{k=0}^{+oo}(4)/(2+\pi+2k\pi)=+oo$