Calcolo lunghezza curva

[rxman1]

devo calcolare la lunghezza di questa curva:

[tex]x = 1-cos(t) + (2-t)sen(t)[/tex]
[tex]y = sen(t)+(2-t)cos(t)[/tex]
[tex]z=t[/tex]

con la formula per la lunghezza, arrivo a questo integrale:

\(\int_0^2 \sqrt{(2-t)^2+1}\)[tex]dt[/tex]


da li, sostituisco 2-t con il seno iperbolico, quindi tutto l'integrale diventa:

\(\int cosh(x)cosh(x)dx\)

integro per parti due volte, e dovrebbe venirmi fuori nuovamente l'integrale di partenza più qualcos'altro, lo uguaglio all'integrale di partenza e trovo il numero da sostituire a questo.

il problema è che mi viene:

\(\int cosh(x)cosh(x)dx\) = [tex]senh(x)cosh(x)-senh(x)cosh(x) +[/tex] \(\int cosh(x)cosh(x)dx\)


e quindi non risolvo niente perchè si semplifica tutto!
cos'ho sbagliato?


grazie

[Clorinda1]

Basta integrare per parti una volta:

$\int \cosh(x)^2 dx= \sinh(x)\cosh(x) - \int \sinh(x)^2 dx$=
$=-\int \cosh(x)^2 -1 dx+ \sinh(x)\cosh(x).$

Quindi

$2 \int \cosh(x)^2 dx= \sinh(x)\cosh(x) + \int 1 \cdot dx.$

Poi tieni conto del fatto che $sinh(x) \cosh(x)=\frac{1}{2} \sinh(2x)$.

[Clorinda1]

Mi è venuto in mente che potresti anche risolvere l'integrale come segue (senza usare l'integrazione per parti):

$\int \cosh^2(x)dx= \int (\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2 dx = \int \frac{e^{2x} +e^{-2x}+2}{4} \quad=$

$=\int \frac{e^{2x}+e^{-2x}}{4} + \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{e^{2x} +e^{-2x}}{2} \quad + 1 dx = $

$= \frac{1}{2} \int \cosh(2x) dx + \frac{x}{2}=$

$= \frac{1}{4} \sinh(2x) + \frac{x}{2}$.

[rxman1]

Grazie mille!