Calcolo limiti rapporto successioni - Risolto
Salve a tutti, sicuramente la cosa che sto per chiedere è un po' banale, però mi sta bloccando tantissimo nello svolgimento degli esercizi, in quanto non riesco a capire il metodo da utilizzare.
Devo ricavare il raggio di convergenza di una serie, e questo per il teorema di D'Alembert è dato dall'inverso del valore del limite di $ $ lim_(n -> oo ) | a_(n+1) / a_n| $
il mio problema sta nel calcolo del limite di questo rapporto. Per funzioni semplici è tutto normale, però gli esercizi che ho davanti sono del tipo:
$ sum_(n = 0)^(oo) (25^n - (-3)^(3n))/n x^n $
da cui il rapporto poi passa a:
$ (25^(n+1) - (-3)^(3n+1))/(25^(n) - (-3)^(3n)) (n+1)/ n $
se per il secondo termine, quello senza esponenti, è tutto semplice, per il resto trovo molte difficoltà e non saprei che "mosse" fare per semplificare.
se qualcuno mi da una piccola mano, per capire come si risolve, lo ringrazio
Devo ricavare il raggio di convergenza di una serie, e questo per il teorema di D'Alembert è dato dall'inverso del valore del limite di $ $ lim_(n -> oo ) | a_(n+1) / a_n| $
il mio problema sta nel calcolo del limite di questo rapporto. Per funzioni semplici è tutto normale, però gli esercizi che ho davanti sono del tipo:
$ sum_(n = 0)^(oo) (25^n - (-3)^(3n))/n x^n $
da cui il rapporto poi passa a:
$ (25^(n+1) - (-3)^(3n+1))/(25^(n) - (-3)^(3n)) (n+1)/ n $
se per il secondo termine, quello senza esponenti, è tutto semplice, per il resto trovo molte difficoltà e non saprei che "mosse" fare per semplificare.
se qualcuno mi da una piccola mano, per capire come si risolve, lo ringrazio
Risposte
[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{25^{n+1}-(-3)^{3n+1}}{25^n-(-3)^{3n}}\right| = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{27^n \cdot \left(25\cdot\left( -\frac{25}{27}\right)^n+3\right)}{27^n\cdot \left( \left(- \frac{25}{27}\right)^n+1\right)}\right| = \frac{3}{1} = 3[/tex]
Ti torna? E' un trucchetto standard, quando hai situazioni simili alla tua. Raccogli l'esponenziale con la base maggiore, in modo da ottenere un termine [tex]a^n[/tex] con [tex]|a| < 1[/tex] che tende a zero.
Ti torna? E' un trucchetto standard, quando hai situazioni simili alla tua. Raccogli l'esponenziale con la base maggiore, in modo da ottenere un termine [tex]a^n[/tex] con [tex]|a| < 1[/tex] che tende a zero.
ho capito il trucchetto grazie, però in questo risultato non mi torna, in quanto dovrei avere un risultato diverso da 1
forse, quando sopra hai raccolto hai dimenticato che l'esponente è n+1, o mi sbaglio?
forse, quando sopra hai raccolto hai dimenticato che l'esponente è n+1, o mi sbaglio?
No, mi sono inventato un esponente 3n+1 al denominatore. Ora ho corretto, vedi se ti torna... 
ahaha..ok grazie così posso calcolare il raggio e tutte le belle cose di una serie, sarebbe stato bello se fosse stato 1, così non avevo altro da fare 
così posso calcolare il raggio e tutte le belle cose di una serie, sarebbe stato bello se fosse stato 1, così non avevo altro da fare
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