Calcolo Limiti a una Variabile
Ciao ragazzi, ho un problema coi seguenti limiti:
a) \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle ( x^{sin(x)} -1 ) / x \) con \(\displaystyle x\to 0^+ \) ;
b) \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle [log(e+ (1/x)) ]^x \) con \(\displaystyle x\to + \infty \) ;
Nel primo limite, ho provato a usare per l'esponente della x il Mc Laurin del sin(x), a spezzare la frazione, ma non funziona.
Successivamente, ho applicato al sin(x) la formula parametrica ma anche in questo caso mi riconduco a una forma indeterminata e quindi niente . Applicare Hopital potrei farlo, ma ottengo una funzione che conviene lasciare perdere. Come posso fare?
Nel secondo , ho provato ad usare le proprietà logaritmiche riscrivendo la funzione in tal modo:
\(\displaystyle {[log(e) * log(1/x)]}^ x \), cambio la variabile \(\displaystyle 1/x = t \), calcolo il limite in un intorno di \(\displaystyle 0^+ \), mi ricavo \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle [log(t)]^{1/t} \) con \(\displaystyle t-> 0^+ \)e riscrivo il \(\displaystyle log(t) \) come \(\displaystyle log(1+ (t-1)) \) per usare lo sviluppo di mc Laurin. Tutto questo però è inutile in quanto il limite ha valore finito. Avevo anche cercato di ricavare all'interno del logaritmo , il limite notevole \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle [1+(1/x)]^x \) con \(\displaystyle x\to + \infty \) ma senza successo poiché raccolgo la e ma la ritrovo al di fuori dell'argomento del logaritmo e non so come trattarla.
Grazie a coloro che risolveranno i miei dubbi! Buone feste!
a) \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle ( x^{sin(x)} -1 ) / x \) con \(\displaystyle x\to 0^+ \) ;
b) \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle [log(e+ (1/x)) ]^x \) con \(\displaystyle x\to + \infty \) ;
Nel primo limite, ho provato a usare per l'esponente della x il Mc Laurin del sin(x), a spezzare la frazione, ma non funziona.
Successivamente, ho applicato al sin(x) la formula parametrica ma anche in questo caso mi riconduco a una forma indeterminata e quindi niente . Applicare Hopital potrei farlo, ma ottengo una funzione che conviene lasciare perdere. Come posso fare?
Nel secondo , ho provato ad usare le proprietà logaritmiche riscrivendo la funzione in tal modo:
\(\displaystyle {[log(e) * log(1/x)]}^ x \), cambio la variabile \(\displaystyle 1/x = t \), calcolo il limite in un intorno di \(\displaystyle 0^+ \), mi ricavo \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle [log(t)]^{1/t} \) con \(\displaystyle t-> 0^+ \)e riscrivo il \(\displaystyle log(t) \) come \(\displaystyle log(1+ (t-1)) \) per usare lo sviluppo di mc Laurin. Tutto questo però è inutile in quanto il limite ha valore finito. Avevo anche cercato di ricavare all'interno del logaritmo , il limite notevole \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle [1+(1/x)]^x \) con \(\displaystyle x\to + \infty \) ma senza successo poiché raccolgo la e ma la ritrovo al di fuori dell'argomento del logaritmo e non so come trattarla.
Grazie a coloro che risolveranno i miei dubbi! Buone feste!
Risposte
qualcuno che possa aiutarmi?
per adesso vediamo il primo
scriviamo l'argomento del limite come
$(e^(sinxlnx)-1)/x=(e^(sinxlnx)-1)/(sinxlnx)cdot(sinxlnx)/x$
ora,penso che vada molto meglio
scriviamo l'argomento del limite come
$(e^(sinxlnx)-1)/x=(e^(sinxlnx)-1)/(sinxlnx)cdot(sinxlnx)/x$
ora,penso che vada molto meglio
Sei un genio, quantunquemente! Grazie mille!
Mentre il secondo come lo imposteresti?
Mentre il secondo come lo imposteresti?
si potrebbe ragionare così :
$ln(e+1/x)=ln[e(1+1/(ex))]=1+ln(1+1/(ex)) ~ 1+1/(ex) $
sapresti continuare ?
$ln(e+1/x)=ln[e(1+1/(ex))]=1+ln(1+1/(ex)) ~ 1+1/(ex) $
sapresti continuare ?
\(\displaystyle [1+(1/ (e*x)) ]^x \) mi rifaccio al limite notevole e ottengo \(\displaystyle e^{1/e} \) corretto?
Avevo avuto l'intuizione giusta, peccato!
quantunquemente ho un dubbio sulla soluzione particolare di un' equazione differenziale di secondo ordine, posso chiederti direttamente qui? grazie mille
Avevo avuto l'intuizione giusta, peccato!
quantunquemente ho un dubbio sulla soluzione particolare di un' equazione differenziale di secondo ordine, posso chiederti direttamente qui? grazie mille
"Dave95":
corretto?
per quanto riguarda l'equazione differenziale, penso che il regolamento non obblighi ad aprire un altro thread
Perfetto. Mi ritrovo ad avere questa equazione differenziale di secondo ordine:\(\displaystyle y''-2y'+2y= e^t*cos(t) \) , \(\displaystyle x(0)=0 \) e \(\displaystyle x'(0)=0 \).
La riscrivo tramite il polinomio caratterestico \(\displaystyle\gamma^2-2\gamma+2=0 \) e mi ricavo il delta che nel nostro caso è negativo . Più precisamente, si ha che le soluzioni di tale equazione sono: \(\displaystyle 1+-i \) .
Inoltre, mi ricavo \(\displaystyle \alpha= - b / (2*a) \) e \(\displaystyle \beta= sqrt{-\Delta}/ (2*a) \). Fin qui tutto bene, almeno spero.
La soluzione generale che ottengo è : \(\displaystyle c_1 e^t * sin(t)+ c_2 e^t cos(t) \). Il problema sorge nel ricavare la soluzione particolare. Per avere quest'ultima ho usato il metodo di somiglianza ed ho ottenuto:
\(\displaystyle t* e^t [a*cos(t)+b*sin(t)] \) . Da qui ho incominciato a derivare fino ad arrivare alla derivata seconda.
Queste derivate le ho sostituite all'equazione differenziale di partenza ed ho eseguito le semplificazioni fino ad ottenere : \(\displaystyle 2b*cos(t)- 2*a*sin(t) \) da uguagliare ad \(\displaystyle t*[a cos(t) + b sin(t)] \) in cui \(\displaystyle e^t \) è già stata semplificato.
E' corretto ciò che ho fatto? Come mai non riesco ad ottenere i valori di \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) ? grazie mille quantunquemente
La riscrivo tramite il polinomio caratterestico \(\displaystyle\gamma^2-2\gamma+2=0 \) e mi ricavo il delta che nel nostro caso è negativo . Più precisamente, si ha che le soluzioni di tale equazione sono: \(\displaystyle 1+-i \) .
Inoltre, mi ricavo \(\displaystyle \alpha= - b / (2*a) \) e \(\displaystyle \beta= sqrt{-\Delta}/ (2*a) \). Fin qui tutto bene, almeno spero.
La soluzione generale che ottengo è : \(\displaystyle c_1 e^t * sin(t)+ c_2 e^t cos(t) \). Il problema sorge nel ricavare la soluzione particolare. Per avere quest'ultima ho usato il metodo di somiglianza ed ho ottenuto:
\(\displaystyle t* e^t [a*cos(t)+b*sin(t)] \) . Da qui ho incominciato a derivare fino ad arrivare alla derivata seconda.
Queste derivate le ho sostituite all'equazione differenziale di partenza ed ho eseguito le semplificazioni fino ad ottenere : \(\displaystyle 2b*cos(t)- 2*a*sin(t) \) da uguagliare ad \(\displaystyle t*[a cos(t) + b sin(t)] \) in cui \(\displaystyle e^t \) è già stata semplificato.
E' corretto ciò che ho fatto? Come mai non riesco ad ottenere i valori di \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) ? grazie mille quantunquemente
Qualcuno che possa risolvere questo mio ultimo dubbio?
concordo sul tuo procedimento sia per quanto riguarda la soluzione generale che per quanto riguarda la forma della soluzione particolare
quindi ,il fatto che ti venga un sistema in $a$ e $b$ senza soluzioni penso che derivi da errori nei calcoli che hai fatto e che effettivamente sono molto fastidiosi ( confesso che non mi ci sono messo
)
quindi ,il fatto che ti venga un sistema in $a$ e $b$ senza soluzioni penso che derivi da errori nei calcoli che hai fatto e che effettivamente sono molto fastidiosi ( confesso che non mi ci sono messo
)
La parte più complicata , in effetti, è derivare
Provo a rifare e ti aggiorno. Grazie mille!
Provo a rifare e ti aggiorno. Grazie mille!
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