Calcolo limiti
Buongiorno,
ho provato in tutti i modi a risolvere questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{e^{xcosx}-1-log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}} \)
facendo la sostituzione diretta ovviamente viene una forma indeterminata \(\displaystyle \frac{0}{0} \), di conseguenza ho provato a ricondurre il tutto ai seguenti limiti notevoli:
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{e^{xcosx}-1}{xcosx} = 1\)
e
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} = 1\)
così che il limite diventi:
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{e^{xcosx}-1-log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}} \)
\(\displaystyle =\lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{xcosx}{xcosx})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}] \)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{xcosx}\frac{xcosx}{\sqrt{sinx-xcosx}})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}\frac{xcosx-1}{\sqrt{sinx-xcosx}} \)
andando ad effettuare la sostituzione diretta, arrivo al risultato: \(\displaystyle +\infty \).
Ma purtroppo deve venire \(\displaystyle \sqrt{3} \), allora ho provato ad usare il teorema di de l'Hôpital ma continua a venirmi la forma indeterminata suddetta.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
ho provato in tutti i modi a risolvere questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{e^{xcosx}-1-log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}} \)
facendo la sostituzione diretta ovviamente viene una forma indeterminata \(\displaystyle \frac{0}{0} \), di conseguenza ho provato a ricondurre il tutto ai seguenti limiti notevoli:
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{e^{xcosx}-1}{xcosx} = 1\)
e
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} = 1\)
così che il limite diventi:
\(\displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{e^{xcosx}-1-log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}} \)
\(\displaystyle =\lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{xcosx}{xcosx})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}] \)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{xcosx}\frac{xcosx}{\sqrt{sinx-xcosx}})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}\frac{xcosx-1}{\sqrt{sinx-xcosx}} \)
andando ad effettuare la sostituzione diretta, arrivo al risultato: \(\displaystyle +\infty \).
Ma purtroppo deve venire \(\displaystyle \sqrt{3} \), allora ho provato ad usare il teorema di de l'Hôpital ma continua a venirmi la forma indeterminata suddetta.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
\( \displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 1 \) 
\( \displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{log(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 1 \)
\( \displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{log(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 1 \)
Giustoo, allora non lo posso usare in nessuna maniera quel limite notevole o sbaglio?
"CriTi":
Giustoo, allora non lo posso usare in nessuna maniera quel limite notevole o sbaglio?
\( \displaystyle \lim_{x ->0^{+}}\frac{log(1+\sqrt{x})}{\sqrt x}\frac{log(1+\sqrt{x})}{\sqrt x} =\lim_{x ->0^{+}}\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{x} = 1 \)
Mhhh quindi il limite si trasforma in:
\(\displaystyle =\lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{xcosx}{xcosx})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{x}{x}] \)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{xcosx}\frac{xcosx}{\sqrt{sinx-xcosx}})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{x}\frac{x}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[\frac{xcosx}{\sqrt{sinx-xcosx}}-\frac{x}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[\frac{xcosx-x}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[\sqrt{\frac{(xcosx-x)^2}{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \sqrt{\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(xcosx-x)^2}{sinx-xcosx}]}
\)
raccolgo la x al numeratore ed uso la regola del prodotto tra limiti:
\(\displaystyle = \sqrt{\lim_{x ->0^{+}}x^2\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cosx-1)^2}{sinx-xcosx}]}
\)
ovviamente il primo limite viene 0, perciò:
\(\displaystyle = \sqrt{0*\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cosx-1)^2}{sinx-xcosx}]}
\)
qui incontro una forma indeterminata 0/0 perciò uso il teorema di de l'Hôpital ed arrivo:
\(\displaystyle = \sqrt{0*\lim_{x ->0^{+}}[\frac{-2(cos(x)-1)}{x}]}
\)
porto fuori la costante 2 dal limite:
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cos(x)-1)}{x}]}
\)
cerco di ricondurmi al limite notevole:
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cos(x)-1)}{x}* \frac{x}{x} ]}
\)
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cos(x)-1)}{x^2}* x ]}
\)
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[-\frac{1}{2}* x ]}
\)
di conseguenza abbiamo:
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)* 0 ]}
\)
e tutto porta 0
cosa ho sbagliato?
\(\displaystyle =\lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{xcosx}{xcosx})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{sinx-xcosx}}\frac{x}{x}] \)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[(\frac{e^{xcosx}-1}{xcosx}\frac{xcosx}{\sqrt{sinx-xcosx}})-\frac{log^2(1+\sqrt{x})}{x}\frac{x}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[\frac{xcosx}{\sqrt{sinx-xcosx}}-\frac{x}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[\frac{xcosx-x}{\sqrt{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \lim_{x ->0^{+}}[\sqrt{\frac{(xcosx-x)^2}{sinx-xcosx}}]
\)
\(\displaystyle = \sqrt{\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(xcosx-x)^2}{sinx-xcosx}]}
\)
raccolgo la x al numeratore ed uso la regola del prodotto tra limiti:
\(\displaystyle = \sqrt{\lim_{x ->0^{+}}x^2\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cosx-1)^2}{sinx-xcosx}]}
\)
ovviamente il primo limite viene 0, perciò:
\(\displaystyle = \sqrt{0*\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cosx-1)^2}{sinx-xcosx}]}
\)
qui incontro una forma indeterminata 0/0 perciò uso il teorema di de l'Hôpital ed arrivo:
\(\displaystyle = \sqrt{0*\lim_{x ->0^{+}}[\frac{-2(cos(x)-1)}{x}]}
\)
porto fuori la costante 2 dal limite:
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cos(x)-1)}{x}]}
\)
cerco di ricondurmi al limite notevole:
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cos(x)-1)}{x}* \frac{x}{x} ]}
\)
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[\frac{(cos(x)-1)}{x^2}* x ]}
\)
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)\lim_{x ->0^{+}}[-\frac{1}{2}* x ]}
\)
di conseguenza abbiamo:
\(\displaystyle = \sqrt{0*(-2)* 0 ]}
\)
e tutto porta 0
cosa ho sbagliato?
Anche a me sembra che il risultato di quel limite sia zero.
Se qualcun altro vuole dare il suo parere...
Se qualcun altro vuole dare il suo parere...
A occhio direi che questo limite non si può calcolare con i limiti notevoli, perché intervengono termini di ordine superiore al primo non trascurabili; quindi l'approssimazione data dai limiti notevoli è troppo grezza, ciò porta ad un risultato scorretto.
Una soluzione alternativa è quella di iterare fin dall'inizio il teorema di De L'Hôpital, fino a che non si arriva a limiti notevoli "puri" per i quali si è sicuri di non approssimare male.
Usando Taylor, per $x \to 0^+$ si ha:
$$\sin x- x \cos x=-\frac{x^3}{6}+\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)=\frac{1}{3}x^3+\text{o}(x^3) \implies \sqrt{\sin x-x \cos x}=\frac{1}{\sqrt{3}}x^{3/2}\left[1+\text{o}(1)\right]$$
$$e^{x \cos x}-1-\log^2(1+\sqrt{x})=x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})$$
Quindi, il limite è effettivamente $\sqrt{3}$.
Consiglierei quindi a CriTi di aspettare di studiare gli sviluppi in serie di Taylor (se il suo corso lo prevede).
Una soluzione alternativa è quella di iterare fin dall'inizio il teorema di De L'Hôpital, fino a che non si arriva a limiti notevoli "puri" per i quali si è sicuri di non approssimare male.
Usando Taylor, per $x \to 0^+$ si ha:
$$\sin x- x \cos x=-\frac{x^3}{6}+\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)=\frac{1}{3}x^3+\text{o}(x^3) \implies \sqrt{\sin x-x \cos x}=\frac{1}{\sqrt{3}}x^{3/2}\left[1+\text{o}(1)\right]$$
$$e^{x \cos x}-1-\log^2(1+\sqrt{x})=x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})$$
Quindi, il limite è effettivamente $\sqrt{3}$.
Consiglierei quindi a CriTi di aspettare di studiare gli sviluppi in serie di Taylor (se il suo corso lo prevede).
Cosa intendi per termini di ordine superiore al primo, non trascurabili?
Quindi l'altra alternativa, per usare i sviluppi di taylor, è quella di usare il teorema di De L'Hôpital più e più volte fino a quando tutto si riduce a qualcosa di più semplice?
Quindi l'altra alternativa, per usare i sviluppi di taylor, è quella di usare il teorema di De L'Hôpital più e più volte fino a quando tutto si riduce a qualcosa di più semplice?
Per quanto riguarda Hôpital, sì. Anche se sembrano conti che ammazzerebbero un maiale adulto.
Con termini di ordine superiore al primo intendo che la maggior parte dei limiti notevoli (tranne quello del coseno) danno informazioni su come si comporta la funzione confrontata ad un termine di primo grado: infatti, la maggior parte di essi è un rapporto con la funzione $x$. Quando in un limite c'è una differenza tra funzioni che puoi analizzare con limiti notevoli e questa differenza cancella il termine del primo ordine, solamente con i limiti notevoli non hai più informazioni sufficienti sul comportamento della funzione; quindi, per stabilirne il comportamento senza ambiguità, intervengono dei termini di ordine superiore che potrebbero o no cancellarsi. Il primo termine che non si cancella stabilisce il comportamento rilevante al limite. Nel tuo caso, al denominatore serve un termine ulteriore del seno di grado $3$. Non puoi conoscerlo senza conoscere gli sviluppi di Taylor, o senza derivare più volte con Hôpital. Magari per il denominatore funziona qualche manipolazione algebrica, ma il numeratore sembra senza speranza.
Con termini di ordine superiore al primo intendo che la maggior parte dei limiti notevoli (tranne quello del coseno) danno informazioni su come si comporta la funzione confrontata ad un termine di primo grado: infatti, la maggior parte di essi è un rapporto con la funzione $x$. Quando in un limite c'è una differenza tra funzioni che puoi analizzare con limiti notevoli e questa differenza cancella il termine del primo ordine, solamente con i limiti notevoli non hai più informazioni sufficienti sul comportamento della funzione; quindi, per stabilirne il comportamento senza ambiguità, intervengono dei termini di ordine superiore che potrebbero o no cancellarsi. Il primo termine che non si cancella stabilisce il comportamento rilevante al limite. Nel tuo caso, al denominatore serve un termine ulteriore del seno di grado $3$. Non puoi conoscerlo senza conoscere gli sviluppi di Taylor, o senza derivare più volte con Hôpital. Magari per il denominatore funziona qualche manipolazione algebrica, ma il numeratore sembra senza speranza.
Allora vediamo se ho capito bene.
Praticamente quando devo risolvere un limite e quest'ultimo, usando la sostituzione diretta, mi porta una forma indeterminata (\(\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} , 0* \infty, 1^{\infty}, \infty-\infty, 0^{\infty} \infty^0) \) ed ho una differenza tra funzioni, devo controllare che facendo lo sviluppo in serie di taylor non arrivi ad avere una situazione in cui, il primo termine della serie di taylor del sottraendo (non nullo) si annulli con il primo termine(non nullo) della serie di taylor del minuendo.
Nel caso in cui questo non accade, allora possono usare i limiti notevoli.
ad esempio:
se io ho
\( \displaystyle = \lim_{x ->0}[\frac{x-sin(x)}{x^3}] \)
andando a fare lo sviluppo in serie di taylor del seno al primo grado:
\(\displaystyle sin(x) = x + \text{o}{(x)} \)
mi ritrovo che
il numeratore diventa \(\displaystyle x-x=0 \)
di conseguenza il primo termine della serie di taylor non nullo si annulla nella differenza, perciò non posso fare uso dei limiti notevoli, ma ho bisogno di usare obbligatoriamente il calcolo del limite con le serie di taylor, è corretto? Sono riuscito a capire bene?
Praticamente quando devo risolvere un limite e quest'ultimo, usando la sostituzione diretta, mi porta una forma indeterminata (\(\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} , 0* \infty, 1^{\infty}, \infty-\infty, 0^{\infty} \infty^0) \) ed ho una differenza tra funzioni, devo controllare che facendo lo sviluppo in serie di taylor non arrivi ad avere una situazione in cui, il primo termine della serie di taylor del sottraendo (non nullo) si annulli con il primo termine(non nullo) della serie di taylor del minuendo.
Nel caso in cui questo non accade, allora possono usare i limiti notevoli.
ad esempio:
se io ho
\( \displaystyle = \lim_{x ->0}[\frac{x-sin(x)}{x^3}] \)
andando a fare lo sviluppo in serie di taylor del seno al primo grado:
\(\displaystyle sin(x) = x + \text{o}{(x)} \)
mi ritrovo che
il numeratore diventa \(\displaystyle x-x=0 \)
di conseguenza il primo termine della serie di taylor non nullo si annulla nella differenza, perciò non posso fare uso dei limiti notevoli, ma ho bisogno di usare obbligatoriamente il calcolo del limite con le serie di taylor, è corretto? Sono riuscito a capire bene?
@CriTi: Scusa la tarda risposta, ma sono stato fuori casa questo fine settimana.
Sì, esatto, l'esempio da te proposto $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ è calzante: il numeratore si cancella al primo ordine e si può risolvere con alcune iterazioni di De L'Hôpital se ancora non si conoscono gli sviluppi di Taylor.
Per quanto riguarda gli sviluppi scritti nell'altro messaggio, userò in seguito che per ogni $a \ne 0$ è $a \cdot \text{o}(f(x))=\text{o}(f(x))$, che $\text{o}(f(x))+\text{o}(f(x))=\text{o}(f(x))$, che $x^k \text{o}(x^n)=\text{o}(x^{n+k})$ e che la dicitura $\text{o}(1)$ indica una qualunque funzione tendente a $0$ (tutte queste proprietà valgono per $x \to x_0$ con $x_0$ punto di accumulazione relativo al limite in esame).
Si ha per $x \to 0^+$ (arrestandosi al terzo ordine, perché è il primo termine a non cancellarsi):
$$\sin x-x \cos x=x-\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^3)-x\left[1-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)\right]$$
$$=\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)=\frac{x^3}{3}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]=\frac{x^3}{3}[1+\text{o}(1)]$$
Estraendo la radice quadrata, usando che $\sqrt{1+t}=1+t/2+\text{o}(t)$ per $t \to 0$ con $\text{o}(1)$ al posto di $t$ e usando che $\text{o}(1)$ "ingloba" il termine $\text{o}(\text{o}(1))$, è:
$$\sqrt{\sin x -x \cos x}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\text{o}(1)}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(1)}{2}\right]=\frac{x^{3/2}}{3}[1+\text{o}(1)]$$
L'altro è un po' più noioso a causa dei conti, ma basta notare che il termine di grado $1$ viene cancellato nella differenza tra esponenziale e logaritmo mentre il termine di ordine $3/2$ (generato dal doppio prodotto relativo allo sviluppo del logaritmo) non si cancella. Perciò:
$$e^{x \cos x}-1-\log^2(1+\sqrt{x})=e^{x\left[1-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)\right]}-1-\left[\sqrt{x}-\frac{x}{2}+\text{o}(x)\right]^2$$
$$=e^{x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)}-1-\left[x+\frac{x^2}{4}+\text{o}(x^2)-x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}(x^2)\right]$$
$$=1+x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)+\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2+\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)-1-x-\frac{x^2}{4}+$$
$$+\text{o}(x^2)+x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}(x^2)$$
$$=x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)$$
Nell'ultima uguaglianza ho buttato tutti i termini di grado maggiore a $3/2$ in $\text{o}(x^{3/2})$, compresi gli altri $\text{o}$-piccoli e quelli provenienti dal quadrato trinomio corrispondente al termine di secondo grado dello sviluppo dell'esponenziale. L'unico termine che non è immediato stabilire se è $\text{o}(x^{3/2})$, oppure no, è $\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)$.
Dimostriamo che lo è. A tal proposito, userò una definizione equivalente di $\text{o}$-piccolo: diciamo che $h(x)=\text{o}(g(x))$ per $x \to x_0$ se esiste una funzione $\omega$ tale che $h(x)=g(x) \omega (x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$ (ossia, $h$ va a $0$ più velocemente di $g$ per $x \to x_0$ in quanto è prodotto tra $g$ e qualcosa che tende a $0$).
Sia $\omega_1$ una funzione tale che $\omega_1 (x) \to 0$ per $x \to 0^+$. Per la definizione equivalente data prima di $\text{o}$-piccolo relativa a $\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)$, si ha che:
$$\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)=\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\omega_1 (x)$$
$$=\left[x^{3/4}\left(x^{1/4}-\frac{x^{9/4}}{2}+\text{o}(x^{9/4})\right)\right]^2\omega_1 (x)=x^{3/2}\left(x^{1/4}-\frac{x^{9/4}}{2}+\text{o}(x^{9/4})\right)^2\omega_1 (x)$$
Posto $\omega_2(x):=\left(x^{1/4}-\frac{x^{9/4}}{2}+\text{o}(x^{9/4})\right)^2\right)\omega_1 (x)$, si ha che $\omega_2 (x) \to 0$ per $x \to 0^+$ e pertanto $\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)=x^{3/2}\omega_2 (x)$ con $\omega_2(x) \to 0$ per $x\to 0^+$ e abbiamo concluso.
A rigore, le uguaglianze tra $\text{o}$-piccoli sono intese come appartenenze insiemistiche $\in$, però si usa scrivere uguaglianza con un abuso di notazione (abuso perché l'uguaglianza è simmetrica, l'appartenenza insiemistica no).
Sì, esatto, l'esempio da te proposto $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ è calzante: il numeratore si cancella al primo ordine e si può risolvere con alcune iterazioni di De L'Hôpital se ancora non si conoscono gli sviluppi di Taylor.
Per quanto riguarda gli sviluppi scritti nell'altro messaggio, userò in seguito che per ogni $a \ne 0$ è $a \cdot \text{o}(f(x))=\text{o}(f(x))$, che $\text{o}(f(x))+\text{o}(f(x))=\text{o}(f(x))$, che $x^k \text{o}(x^n)=\text{o}(x^{n+k})$ e che la dicitura $\text{o}(1)$ indica una qualunque funzione tendente a $0$ (tutte queste proprietà valgono per $x \to x_0$ con $x_0$ punto di accumulazione relativo al limite in esame).
Si ha per $x \to 0^+$ (arrestandosi al terzo ordine, perché è il primo termine a non cancellarsi):
$$\sin x-x \cos x=x-\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^3)-x\left[1-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)\right]$$
$$=\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)=\frac{x^3}{3}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]=\frac{x^3}{3}[1+\text{o}(1)]$$
Estraendo la radice quadrata, usando che $\sqrt{1+t}=1+t/2+\text{o}(t)$ per $t \to 0$ con $\text{o}(1)$ al posto di $t$ e usando che $\text{o}(1)$ "ingloba" il termine $\text{o}(\text{o}(1))$, è:
$$\sqrt{\sin x -x \cos x}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\text{o}(1)}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(1)}{2}\right]=\frac{x^{3/2}}{3}[1+\text{o}(1)]$$
L'altro è un po' più noioso a causa dei conti, ma basta notare che il termine di grado $1$ viene cancellato nella differenza tra esponenziale e logaritmo mentre il termine di ordine $3/2$ (generato dal doppio prodotto relativo allo sviluppo del logaritmo) non si cancella. Perciò:
$$e^{x \cos x}-1-\log^2(1+\sqrt{x})=e^{x\left[1-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)\right]}-1-\left[\sqrt{x}-\frac{x}{2}+\text{o}(x)\right]^2$$
$$=e^{x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)}-1-\left[x+\frac{x^2}{4}+\text{o}(x^2)-x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}(x^2)\right]$$
$$=1+x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)+\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2+\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)-1-x-\frac{x^2}{4}+$$
$$+\text{o}(x^2)+x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}(x^2)$$
$$=x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)$$
Nell'ultima uguaglianza ho buttato tutti i termini di grado maggiore a $3/2$ in $\text{o}(x^{3/2})$, compresi gli altri $\text{o}$-piccoli e quelli provenienti dal quadrato trinomio corrispondente al termine di secondo grado dello sviluppo dell'esponenziale. L'unico termine che non è immediato stabilire se è $\text{o}(x^{3/2})$, oppure no, è $\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)$.
Dimostriamo che lo è. A tal proposito, userò una definizione equivalente di $\text{o}$-piccolo: diciamo che $h(x)=\text{o}(g(x))$ per $x \to x_0$ se esiste una funzione $\omega$ tale che $h(x)=g(x) \omega (x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$ (ossia, $h$ va a $0$ più velocemente di $g$ per $x \to x_0$ in quanto è prodotto tra $g$ e qualcosa che tende a $0$).
Sia $\omega_1$ una funzione tale che $\omega_1 (x) \to 0$ per $x \to 0^+$. Per la definizione equivalente data prima di $\text{o}$-piccolo relativa a $\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)$, si ha che:
$$\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)=\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\omega_1 (x)$$
$$=\left[x^{3/4}\left(x^{1/4}-\frac{x^{9/4}}{2}+\text{o}(x^{9/4})\right)\right]^2\omega_1 (x)=x^{3/2}\left(x^{1/4}-\frac{x^{9/4}}{2}+\text{o}(x^{9/4})\right)^2\omega_1 (x)$$
Posto $\omega_2(x):=\left(x^{1/4}-\frac{x^{9/4}}{2}+\text{o}(x^{9/4})\right)^2\right)\omega_1 (x)$, si ha che $\omega_2 (x) \to 0$ per $x \to 0^+$ e pertanto $\text{o}\left(\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2\right)=x^{3/2}\omega_2 (x)$ con $\omega_2(x) \to 0$ per $x\to 0^+$ e abbiamo concluso.
A rigore, le uguaglianze tra $\text{o}$-piccoli sono intese come appartenenze insiemistiche $\in$, però si usa scrivere uguaglianza con un abuso di notazione (abuso perché l'uguaglianza è simmetrica, l'appartenenza insiemistica no).
@Mephlip non ti preoccupare, più che altro mi dovrei scusare io perchè ti chiedo un sacco di tempo e tu me lo dedichi.. quindi grazie milleee
Ho un paio di dubbi:
come mai metto \[\text{o}(1)\] invece di lasciare \[\text{o}(x^3)\]
che successivamente viene inglobato, grazie all'algebra degli o-piccolo, nel limite da \[\text{o}(x^{\frac{3}{2}})\]
mi rimane solo un'attimo ostico questo risultato:
come siamo arrivati ad avere 3/4 ? E come mai arriviamo a fare quel passaggio?
Ho un paio di dubbi:
come mai metto \[\text{o}(1)\] invece di lasciare \[\text{o}(x^3)\]
che successivamente viene inglobato, grazie all'algebra degli o-piccolo, nel limite da \[\text{o}(x^{\frac{3}{2}})\]
mi rimane solo un'attimo ostico questo risultato:
come siamo arrivati ad avere 3/4 ? E come mai arriviamo a fare quel passaggio?
Prego! Tranquillo, si dedica volentieri tempo alle risposte perché ne potranno usufruire non solo l'utente che ha domandato, ma anche ogni altro utente che passerà di qui in futuro; il forum nasce per questo.
Per il primo testo nascosto: sì, hai ragione tu, mi sono perso una radice nel trascrivere. Rimane $\sqrt{3}$ a denominatore anche nell'ultima uguaglianza.
Sono stato un po' sbrigativo sullo sviluppo del denominatore usando $\text{o}(1)$ perché l'ho scritto prima di quello del numeratore, e pensavo che non fosse necessario parlare per esteso di $\text{o}$-piccoli. Però poi l'ho dovuto fare comunque, quindi lo riscrivo meglio:
$$\sqrt{\sin x- x \cos x}=\sqrt{\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{3\text{o}(x^3)}{x^3}}$$
$$=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]$$
Dimostriamo che $\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)=\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}$ per $x \to 0^+$. Per quanto detto nel mio messaggio precedente, usando due volte la definizione equivalente di $\text{o}$-piccolo è:
$$\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)=\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\omega_1(x)$$
Con $\omega_1 (x) \to 0$ per $x \to 0^+$.
Perciò $\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)$ è della forma $\frac{\text{o}(x^3)}{x^3} \cdot (\text{qualcosa che tende a 0 per x che tende a 0+})$. Ciò conclude la dimostrazione.
Pertanto, per l'algebra degli $\text{o}$-piccoli, si ha:
$$\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]$$
Riguardo al passaggio che hai definito ostico: ho raccolto $x^{3/4}$ esclusivamente perché volevo dimostrare che $\text{o}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2=\text{o}(x^{3/2})$ per $x \to 0^+$, quindi volevo dimostrare che $\text{o}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2$ è della forma $x^{3/2} \cdot (\text{qualcosa che tende a 0 per x che tende a 0+})$ e dunque, essendo presente un quadrato, raccogliendo una potenza ad esponente $3/4$ essa al quadrato diventa un fattore moltiplicativo del tipo potenza ad esponente $3/2$ (come volevo). Non è che lo so a priori, devo "sperare" che sia così in modo tale da semplificare l'espressione finale $x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2$ puntando a rimanere solo con $x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})$. Perché voglio rimanere con questa espressione? La risposta si allaccia alla tua ultima domanda sul limite presente nell'ultima parte nascosta. Arriviamo a questo perché, per definizione di $\text{o}$-piccolo, hai che $\frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}} \to 0$ per $x \to 0^+$. Quindi, usando ora lo sviluppo più preciso (quello relativo ai conti fatti in questo messaggio e non quello con $\text{o}(1)$), abbiamo che:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{x \cos x}-1-\log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{\sin x-x \cos x}}=\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]}=\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}\left[1+\frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}\right]}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]}$$
$$=\lim_{x \to 0^+} \frac{1+\frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]}=\frac{1+0}{\frac{1}{\sqrt{3}}(1+0)}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$
Spero sia chiaro ora e spero di non aver fatto altri errori di trascrizione; se qualcosa non ti torna chiedi pure!
Scusami se ho usato la notazione $\text{o}(1)$ senza accertarmi che la conoscessi, ma come puoi vedere da questo messaggio all'atto pratico è proprio quello che succede: è un modo sbrigativo per denotare comunque roba che va a $0$ per $x \to 0^+$ e di cui non ti importa sapere come va a $0$ perché il termine dominante di ordine $3/2$ l'avevo già determinato. Però, effettivamente, queste sono cose che si capiscono con l'esperienza e non è stato molto didattico, da parte mia, portelo così.
Comunque, nell'ultima parte nascosta del tuo messaggio hai fatto un errore di calcolo nella semplificazione del termine $x^{3/2}$, devi dividere anche $\text{o}(x^{3/2})$ presente al numeratore per $x^{3/2}$.
Per il primo testo nascosto: sì, hai ragione tu, mi sono perso una radice nel trascrivere. Rimane $\sqrt{3}$ a denominatore anche nell'ultima uguaglianza.
Sono stato un po' sbrigativo sullo sviluppo del denominatore usando $\text{o}(1)$ perché l'ho scritto prima di quello del numeratore, e pensavo che non fosse necessario parlare per esteso di $\text{o}$-piccoli. Però poi l'ho dovuto fare comunque, quindi lo riscrivo meglio:
$$\sqrt{\sin x- x \cos x}=\sqrt{\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{3\text{o}(x^3)}{x^3}}$$
$$=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]$$
Dimostriamo che $\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)=\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}$ per $x \to 0^+$. Per quanto detto nel mio messaggio precedente, usando due volte la definizione equivalente di $\text{o}$-piccolo è:
$$\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)=\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\omega_1(x)$$
Con $\omega_1 (x) \to 0$ per $x \to 0^+$.
Perciò $\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)$ è della forma $\frac{\text{o}(x^3)}{x^3} \cdot (\text{qualcosa che tende a 0 per x che tende a 0+})$. Ciò conclude la dimostrazione.
Pertanto, per l'algebra degli $\text{o}$-piccoli, si ha:
$$\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]$$
Riguardo al passaggio che hai definito ostico: ho raccolto $x^{3/4}$ esclusivamente perché volevo dimostrare che $\text{o}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2=\text{o}(x^{3/2})$ per $x \to 0^+$, quindi volevo dimostrare che $\text{o}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2$ è della forma $x^{3/2} \cdot (\text{qualcosa che tende a 0 per x che tende a 0+})$ e dunque, essendo presente un quadrato, raccogliendo una potenza ad esponente $3/4$ essa al quadrato diventa un fattore moltiplicativo del tipo potenza ad esponente $3/2$ (come volevo). Non è che lo so a priori, devo "sperare" che sia così in modo tale da semplificare l'espressione finale $x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})+\text{o}\left(x-\frac{x^3}{2}+\text{o}(x^3)\right)^2$ puntando a rimanere solo con $x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})$. Perché voglio rimanere con questa espressione? La risposta si allaccia alla tua ultima domanda sul limite presente nell'ultima parte nascosta. Arriviamo a questo perché, per definizione di $\text{o}$-piccolo, hai che $\frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}} \to 0$ per $x \to 0^+$. Quindi, usando ora lo sviluppo più preciso (quello relativo ai conti fatti in questo messaggio e non quello con $\text{o}(1)$), abbiamo che:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{x \cos x}-1-\log^2(1+\sqrt{x})}{\sqrt{\sin x-x \cos x}}=\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}+\text{o}(x^{3/2})}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]}=\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}\left[1+\frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}\right]}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]}$$
$$=\lim_{x \to 0^+} \frac{1+\frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]}=\frac{1+0}{\frac{1}{\sqrt{3}}(1+0)}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$
Spero sia chiaro ora e spero di non aver fatto altri errori di trascrizione; se qualcosa non ti torna chiedi pure!
Scusami se ho usato la notazione $\text{o}(1)$ senza accertarmi che la conoscessi, ma come puoi vedere da questo messaggio all'atto pratico è proprio quello che succede: è un modo sbrigativo per denotare comunque roba che va a $0$ per $x \to 0^+$ e di cui non ti importa sapere come va a $0$ perché il termine dominante di ordine $3/2$ l'avevo già determinato. Però, effettivamente, queste sono cose che si capiscono con l'esperienza e non è stato molto didattico, da parte mia, portelo così.
Comunque, nell'ultima parte nascosta del tuo messaggio hai fatto un errore di calcolo nella semplificazione del termine $x^{3/2}$, devi dividere anche $\text{o}(x^{3/2})$ presente al numeratore per $x^{3/2}$.
\[ =\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}}=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right] \]
dove finisce il 2, viene tolto perché trascurabile?
nel caso in cui non è possibile togliere quel 2.. come diventa questo passaggio:
\[ \frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]= \]
correggimi se sbaglio, provo ad usare \(\displaystyle \text{o}(1) \):
\(\displaystyle \lim_{x\dashrightarrow 0^{+}} \frac{x^{3/2} + \text{o}(x^{3/2})}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}[1+\text{o}(1)]} \)
\(\displaystyle = \lim_{x\dashrightarrow 0^{+}} \frac{1 + \frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}[1+\text{o}(1)]} \)
dato che \(\displaystyle \text{o}(1) \) tende a 0 per \(\displaystyle 0^{+} \)
\(\displaystyle = \frac{1 + 0}{\frac{1}{\sqrt{3}}[1+0]} \)
\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt {3}\)
dove finisce il 2, viene tolto perché trascurabile?
nel caso in cui non è possibile togliere quel 2.. come diventa questo passaggio:
\[ \frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\text{o}\left(\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right)\right]=\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}\left[1+\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}+\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}\right]= \]
correggimi se sbaglio, provo ad usare \(\displaystyle \text{o}(1) \):
\(\displaystyle \lim_{x\dashrightarrow 0^{+}} \frac{x^{3/2} + \text{o}(x^{3/2})}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}[1+\text{o}(1)]} \)
\(\displaystyle = \lim_{x\dashrightarrow 0^{+}} \frac{1 + \frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}[1+\text{o}(1)]} \)
dato che \(\displaystyle \text{o}(1) \) tende a 0 per \(\displaystyle 0^{+} \)
\(\displaystyle = \frac{1 + 0}{\frac{1}{\sqrt{3}}[1+0]} \)
\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt {3}\)
"CriTi":
dove finisce il 2, viene tolto perché trascurabile?
Ho usato la vecchia proprietà che per $a\ne0$ si ha $a \cdot \text{o}(f(x))=\text{o}(f(x))$:
$$\frac{\text{o}(x^3)}{2x^3}=\frac{\frac{1}{2}\text{o}(x^3)}{x^3}=\frac{\text{o}(x^3)}{x^3}$$
"CriTi":
correggimi se sbaglio, provo ad usare \(\displaystyle \text{o}(1) \):
\(\displaystyle \lim_{x\dashrightarrow 0^{+}} \frac{x^{3/2} + \text{o}(x^{3/2})}{\frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}[1+\text{o}(1)]} \)
\(\displaystyle = \lim_{x\dashrightarrow 0^{+}} \frac{1 + \frac{\text{o}(x^{3/2})}{x^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}[1+\text{o}(1)]} \)
dato che \(\displaystyle \text{o}(1) \) tende a 0 per \(\displaystyle 0^{+} \)
\(\displaystyle = \frac{1 + 0}{\frac{1}{\sqrt{3}}[1+0]} \)
\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt {3}\)
È corretto.
Ora ho capito, grazie milleeeee 
mi puoi dare qualche indicazione su dove studiare bene queste cose?
mi puoi dare qualche indicazione su dove studiare bene queste cose?
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