Calcolo limite (ln, esponenziale, seno e coseno)

[lisacassidy]

Buonasera, avrei il seguente limite:

$ lim_(x -> 0) (ln(e^(x^2)+x^4)-xsenx)/(sen(2x^2)+4cosx-4) $

Qualche aiuto su come iniziare a svolgerlo? Ho notato che viene la forma indeterminata $ 0/0 $

Grazie

[marco2132k]

Non che ci abbia provato, ma se dividi tutto per \( 1/x^2 \)?

[lisacassidy]

Sia numeratore che denominatore? E da dove deriva $ 1/x^2 $ ?

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$[x rarr 0] rarr [e^(x^2)=1+x^2+1/2x^4+O(x^6)]$

si ha:

$lim_(x->0)(ln[1+x^2+3/2x^4+O(x^6)]-xsenx)/(sen2x^2+4cosx-4)$

A questo punto, con la dovuta attenzione, non resta che utilizzare gli sviluppi sottostanti:

$[x rarr 0] rarr [ln(1+x)=...]$

$[x rarr 0] rarr [sinx=...]$

$[x rarr 0] rarr [cosx=...]$

[lisacassidy]

Ok.
Mi viene per $ [xrarr 0] $ :

$ ln(1+x)=x^2+3/2x^4+o(x^4)-[x^2+3/2x^4+o(x^4)]^2/2+[x^2+3/2x^4+o(x^4)]^3/3-[x^2+3/2x^4+o(x^4)]^4/4+o((x^2+3/2x^4+o(x^4))^4) $

$ senx=x-x^3/6+o(x^3) $

$ xsenx=x^2-x^4/6+o(x^4) $

$ sen(2x^2)=(2x^2)-(2x^2)^3/6+o((x^2)^3)=2x^2-4/3x^6+o(x^6) $

$ cosx=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+o(x^6) $

Questi vanno bene??
Oppure ho sviluppato troppo in alcuni casi?

[lisacassidy]

Non so come andare avanti
Qualcuno riesce ad aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Al denominatore è sufficiente sviluppare fino all'ordine 4:

$sen2x^2+4cosx-4=$

$=2x^2+O(x^6)+4[1-1/2x^2+1/24x^4+O(x^6)]-4=$

$=2x^2+O(x^6)+4-2x^2+1/6x^4+O(x^6)-4=$

$=1/6x^4+O(x^6)$

[gugo82]

"eleonoraponti":Non so come andare avanti
Qualcuno riesce ad aiutarmi?

Metti tutto insieme e calcola. Che viene fuori?

[lisacassidy]

Mi viene fuori:

$ lim_(x -> 0) (x^2+3/2x^4+o(x^4)-(x^2+3/2x^4+o(x^4))^2/2+(x^2+3/2x^4+o(x^4))^3/3-(x^2+3/2x^4+o(x^4))^4/4+o((x^2+3/2x^4+o(x^4))^4)-x^2-x^4/6+o(x^4))/(1/6x^4+o(x^6)) =$

$= lim_(x -> 0) (4/3x^4+o(x^4)-(x^2+3/2x^4+o(x^4))^2/2+(x^2+3/2x^4+o(x^4))^3/3-(x^2+3/2x^4+o(x^4))^4/4+o((x^2+3/2x^4+o(x^4))^4))/(1/6x^4+o(x^6)) $

Devo svolgere anche queste potenze o in qualche modo si possono semplificare:

$ (x^2+3/2x^4+o(x^4))^2/2 $

$ (x^2+3/2x^4+o(x^4))^3/3 $

$ (x^2+3/2x^4+o(x^4))^4/4 $

??

E questo $ o((x^2+3/2x^4+o(x^4))^4)) $ posso riscriverlo semplicemente come $ o(x^8) $ ??

[lisacassidy]

"anonymous_0b37e9":Al denominatore è sufficiente sviluppare fino all'ordine 4:

$sen2x^2+4cosx-4=$

$=2x^2+O(x^6)+4[1-1/2x^2+1/24x^4+O(x^6)]-4=$

$=2x^2+O(x^6)+4-2x^2+1/6x^4+O(x^6)-4=$

$=1/6x^4+O(x^6)$

Non capisco perchè hai messo: $ O(x^6) $ invece che $ O(x^4) $ ?

[gugo82]

@ eleonoraponti: Ma perché ti fermi ad ogni passaggio e chiedi conferma?
Fai i conti fino in fondo. E se non ci riesci perché trovi un problema, chiedi chiarendo qual è il problema.