Calcolo limite esponenziale
Ciao a tutti !
Oggi mi rivolgo a voi per una mano su un limite che mi sta creando problemi. Probabilmente si tratta di qualcosa di banale che mi sfugge, ma non riesco a venirne a capo.
Il limite è il seguente: $lim_(x -> 0)(3*2^x-2*3^x)^(1/x)$. L'ho risolto con De l'Hopital dopo averlo trasformato utilizzando la relazione $f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))$, sotto le dovute condizioni ed ottengo il risultato cercato, cioè $8/9$. Il fatto è che avrei bisogno di risolverlo utilizzando, al più, limiti notevoli, gerarchie di infiniti ed infinitesimi e stime asintotiche, se possibile; niente De l'Hopital, né sviluppi in serie, né o-piccoli.
Ringrazio sin da ora quanti risponderanno.
Saluti
Oggi mi rivolgo a voi per una mano su un limite che mi sta creando problemi. Probabilmente si tratta di qualcosa di banale che mi sfugge, ma non riesco a venirne a capo.
Il limite è il seguente: $lim_(x -> 0)(3*2^x-2*3^x)^(1/x)$. L'ho risolto con De l'Hopital dopo averlo trasformato utilizzando la relazione $f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))$, sotto le dovute condizioni ed ottengo il risultato cercato, cioè $8/9$. Il fatto è che avrei bisogno di risolverlo utilizzando, al più, limiti notevoli, gerarchie di infiniti ed infinitesimi e stime asintotiche, se possibile; niente De l'Hopital, né sviluppi in serie, né o-piccoli.
Ringrazio sin da ora quanti risponderanno.
Saluti
Risposte
Ciao BayMax,
Farei così:
$ \lim_{x \to 0}(3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x)^{1/x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}[3 - 2 (3/2)^x]^{1/x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}[1 + 2 - 2 (3/2)^x]^{1/x} = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to 0}[1 + 1/(1/(2 - 2 (3/2)^x))]^{1/x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}\{[1 + 1/(1/(2 - 2 (3/2)^x))]^{1/(2 - 2 (3/2)^x)}\}^{(2 - 2 (3/2)^x)/x} = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to 0}\{[1 + 1/(1/(2 - 2 (3/2)^x))]^{1/(2 - 2 (3/2)^x)}\}^{- 2((3/2)^x - 1)/x} = 2 \cdot e^{- 2 ln(3/2)} = 2 \cdot e^{ln(3/2)^{- 2}} = $
$ = 2 \cdot (3/2)^{- 2} = 2 \cdot (2/3)^2 = 2 \cdot 4/9 = 8/9 $
Farei così:
$ \lim_{x \to 0}(3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x)^{1/x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}[3 - 2 (3/2)^x]^{1/x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}[1 + 2 - 2 (3/2)^x]^{1/x} = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to 0}[1 + 1/(1/(2 - 2 (3/2)^x))]^{1/x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}\{[1 + 1/(1/(2 - 2 (3/2)^x))]^{1/(2 - 2 (3/2)^x)}\}^{(2 - 2 (3/2)^x)/x} = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to 0}\{[1 + 1/(1/(2 - 2 (3/2)^x))]^{1/(2 - 2 (3/2)^x)}\}^{- 2((3/2)^x - 1)/x} = 2 \cdot e^{- 2 ln(3/2)} = 2 \cdot e^{ln(3/2)^{- 2}} = $
$ = 2 \cdot (3/2)^{- 2} = 2 \cdot (2/3)^2 = 2 \cdot 4/9 = 8/9 $
Ciao @pilloeffe !
Grazie della risposta !
Accidenti, mi era proprio sfuggito il limite notevole che porta all'esponenziale](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
. Sto perdendo colpi 
. Ci sono stato sopra almeno un'ora senza venirne a capo. Grazie davvero, mi hai risparmiato una domenica di tentativi (probabilmente a vuoto) !
Buona domenica !
Grazie della risposta !
Accidenti, mi era proprio sfuggito il limite notevole che porta all'esponenziale
. Sto perdendo colpi . Ci sono stato sopra almeno un'ora senza venirne a capo. Grazie davvero, mi hai risparmiato una domenica di tentativi (probabilmente a vuoto) !Buona domenica !
"BayMax":
Grazie della risposta !
Prego!
"BayMax":
Sto perdendo colpi
Beh dai, non è che era poi così semplice, ci ho messo un po' anch'io...
"BayMax":
Accidenti, mi era proprio sfuggito il limite notevole che porta all'esponenziale.
Ti dirò, è il primo al quale penso di ricondurmi quando vedo una forma indeterminata del tipo $(\to 1)^{\to \infty} $
Buona domenica anche a te!
In effetti basta ricordare che se, in un intorno di c finito o infinito, l'espressione esponenziale $"f(x)"^"g(x)"$ si presenta nella forma indeterminata del tipo $"[1"^oo"]"$, come avviene nel nostro caso, ed inoltre $existslim_{"x" to "c"}"[f(x)-1]g(x) =l" in RR$, avremo che $existslim_{"x"to"c"}"f(x)"^"g(x)""=e"^"l"$;
nel limite in parola basterà allora osservare che $existslim_{"x" to "0"}"(3"cdot"2"^"x""-2"cdot"3"^"x""-1)"cdot frac{"1"}{"x"}"="lim_{"x"to"0"}frac{"3"cdot"(2"^"x""-1)-2"cdot"(3"^"x""-1)"}{"x"}"=3ln2-2ln3=ln"frac{"8"}{"9"}$, in virtù di un limite notevole e di una proprietà elementare dei logaritmi, per concludere quanto voluto.
Saluti dal web.
nel limite in parola basterà allora osservare che $existslim_{"x" to "0"}"(3"cdot"2"^"x""-2"cdot"3"^"x""-1)"cdot frac{"1"}{"x"}"="lim_{"x"to"0"}frac{"3"cdot"(2"^"x""-1)-2"cdot"(3"^"x""-1)"}{"x"}"=3ln2-2ln3=ln"frac{"8"}{"9"}$, in virtù di un limite notevole e di una proprietà elementare dei logaritmi, per concludere quanto voluto.
Saluti dal web.
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