Calcolo limite con sviluppo di taylor

[pisto890883]

Ciao a tutti!! Avrei un dubbio riguardo il risultato di questo limite:

$ lim_(x -> 0+) $ (1+x) * $ lim_(x -> 0+) (1+x) * e^{1/x} - e^{x + 1/x} $

per risolverlo ho sviluppato al terzo ordine $ e^{1/x} $ ottenendo: $ 1 + 1/x + 1/(2*(x)^(2))+ 1/(6*(x)^(3)) + o(1/(x)^(3)) $

svolgendo i conti mi viene che il limite tende a + $ oo $, secondo voi è giusto?

Ho provato a far disegnare al pc il grafico ma come risultato per x vicino 0+ mi viene - $ oo $

Grazie in anticipo per la risposta!!! =)

[pisto890883]

Non considerate il primo pezzo, che è una copia! Ho sbagliato a scrivere!!
la funzione vera è:

$ lim_(x -> 0+) (x+1)*e^{1/x} - e^{x + 1/x} $

[ciampax]

Guarda che per $x\to 0^+$ si ha $1/x\to+\infty$ per cui non puoi usare lo sviluppo di McLaurin! Io ragionerei così, invece: puoi scrivere

[tex]$(1+x)\cdot e^{1/x}-e^{x+1/x}=e^{1/x}\left[(1+x)-e^x\right]=e^{1/x}\cdot(-x^2/2+o(x^2))$[/tex]

e da cui osservare che, anche se ti si presenta una forma indeterminata $\infty\cdot 0$, l'esponenziale "prevale" sulla potenza, per cui il valore del limite è $-\infty$ (il segno negativo dovuto al termine $-x^2$).

[pisto890883]

Ho sviluppo con taylor tramite una sostituzione con t = 1/x riportandomi al caso $ e^{t} $ con t che tende a 0+, ho sviluppato e alla fine ho sostituito
Non è lecito procedere con questo passaggio?

[ciampax]

Se sostituisci $t=1/x$ allora $t\to+\infty$. Se tu conosci lo sviluppo in serie in $t=+\infty$ allora tanto di cappello e puoi farlo... ma sfortunatamente tale sviluppo non esiste! (O almeno, non è una cosa che si può fare in campo reale... ok ok, mi sto dilungando!)

Gli sviluppi di McLaurin valgono in un intorno di $x=0$, quindi non puoi farlo all'infinito!.