Calcolo limite con logaritmo

[zio_mangrovia]

Secondo voi quale il modo migliore per approcciare con questo limite?

$\lim_{x \to \infty}x(log(x))^2$
pensavo...
$log(x)/x^-1$ e ed il $log(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^-1$ pertanto il valore del limite è 0, corretto?


$\lim_{x \to 0}x(log(x))^2$ ??!

[francicko]

Beh, se il limite è con $x->infty$ e' ovvio che il limite tende ad $infty$ , il prodotto di due infiniti va ad infinito;
Se il limite invece è $lim_(x->0)x(logx)^2$, abbiamo una forma indeterminata $0×infty $, che si può ricondurre, riscrivendo il limite come $lim_(x->0)(logx)^2/(1/x ) $, alla forma indeterminata $infty/infty $, ed a questo punto applicando Hopital due volte si riesce ad eliminare la forma indeterminata ed il risultato dovrebbe essere $0$.
Inoltre $logx $ ed $x^(-1) $, per $x->0$ sono infiniti non infinitesimi.

[21zuclo]

senza ricorrere ad Hopital

si potrebbe procedere con questo cambio di variabili $ x=1/t \to t=1/x $

quindi ora si ha che $ t\to +\infty $

il nostro limite di partenza è $ \lim_(x\to 0) x(ln x)^2 =\lim_(t\to +\infty) 1/t\cdot (ln(1/t))^2 $

si nota che $ ln(1/t)=ln(1)-ln(t) $

quindi si ha $ \lim_(t\to +\infty )((-ln(t))^2)/t= $

a te la conclusione

[francicko]

x@21zuclo.
Ok!
Si può anche riscrivere il limite nella forma $lim_(x->0)e^(logx) (logx)^2$ effettuare la sostituzione $t=logx $ , e si ha $lim_(t->+infty) t^2/e^t=0$ , in quanto l'infinito esponenziale prevale .
Comunque volendo per stabilire che l'infinito logaritmico $logt $ e più debole di $t$ od che l'infinito esponenziale $e^t$, e' più forte di $t^2$, bisognerebbe ricorrere ad Hopital.