Calcolo limite con limite notevole.
Ciao a tutti raga ho un problemino con il calcolo di un limite.
$lim_(x->+\infty)log(x+sqrt(x^2+1))-2x$; allora io per calcolarlo ho messo in evidenza $x$ e quindi ho ottenuto.
$x(log(x+sqrt(x^2+1))/x-2)$.Ora questo limite $log(x+sqrt(x^2+1))/x$ posso ricondurlo a questo limite notevole $lim_(x->+\infty)logx/x=0$?Grazie 1000 a tutti.
$lim_(x->+\infty)log(x+sqrt(x^2+1))-2x$; allora io per calcolarlo ho messo in evidenza $x$ e quindi ho ottenuto.
$x(log(x+sqrt(x^2+1))/x-2)$.Ora questo limite $log(x+sqrt(x^2+1))/x$ posso ricondurlo a questo limite notevole $lim_(x->+\infty)logx/x=0$?Grazie 1000 a tutti.
Risposte
io avrei fatto così:
$lim_(x->+infty)log(x*(1+sqrt((1+1/x^2))))$
$lim_(x->+infty)logx+log(1+sqrt((1+1/x^2)))-2x$
$lim_(x->+infty) x*(logx/x+log(1+sqrt((1+1/x^2)))/x-2)$
$lim_(x->+infty) x*lim_(x->+infty) (logx/x+log(1+sqrt((1+1/x^2)))/x-2)$
in parentesi abbiamo 0+0-2 quindi:
$-2*lim_(x->+infty) x=-infty$
$lim_(x->+infty)log(x*(1+sqrt((1+1/x^2))))$
$lim_(x->+infty)logx+log(1+sqrt((1+1/x^2)))-2x$
$lim_(x->+infty) x*(logx/x+log(1+sqrt((1+1/x^2)))/x-2)$
$lim_(x->+infty) x*lim_(x->+infty) (logx/x+log(1+sqrt((1+1/x^2)))/x-2)$
in parentesi abbiamo 0+0-2 quindi:
$-2*lim_(x->+infty) x=-infty$
Io opererei adoperando la gerarchia degli infiniti, che se ben ti ricordi dice che: considerate le seguenti tre funzioni
$ (log_{a}x)^{\alpha} $, $ x^{\beta} $, $ c^{x} $, con $ \alpha, \beta > 0 $ e $ a,c >1 $, per $ x \to +\infty $ ciascuna funzione è un infinito di ordine inferiore rispetto a quella che le sta a destra.
Detto questo, hai che il limite è uguale a ....
$ (log_{a}x)^{\alpha} $, $ x^{\beta} $, $ c^{x} $, con $ \alpha, \beta > 0 $ e $ a,c >1 $, per $ x \to +\infty $ ciascuna funzione è un infinito di ordine inferiore rispetto a quella che le sta a destra.
Detto questo, hai che il limite è uguale a ....
Già che ci siamo vediamo una terza maniera di risolvere il limite 
$lim_(x->+\infty)log(x+\sqrt(x^2+1))-2x=lim_(x->+\infty)log[x(1+\sqrt(1+1/x^2))]-2x=lim_(x->+\infty)log(2x)-2x=-\infty$
dove nel secondo passaggio, nel portare la $x$ fuori dalla radice, ho omesso di riportare il valore assoluto in quanto siamo per $x->+\infty$; mentre, l'ultimo passaggio viene fuori dal confronto tra infiniti.
$lim_(x->+\infty)log(x+\sqrt(x^2+1))-2x=lim_(x->+\infty)log[x(1+\sqrt(1+1/x^2))]-2x=lim_(x->+\infty)log(2x)-2x=-\infty$
dove nel secondo passaggio, nel portare la $x$ fuori dalla radice, ho omesso di riportare il valore assoluto in quanto siamo per $x->+\infty$; mentre, l'ultimo passaggio viene fuori dal confronto tra infiniti.
Insomma, come vedi tanti modi per poter risolvere questo limite (che poi ti portano allo stesso risultato 
) Comunque, nel caso in cui in futuro ti dovessi trovare di fronte ad un limite simile confronta sempre gli infiniti, perché ti permette di semplificare la funzione senza troppi passaggi, cioè nel caso in questione
hai che $ log(x+\sqrt(x^2+1)) $, per $x \to \+infty$ è un infinito di ordine minore rispetto a $ 2x $. Sicché il limite, senza fare alcuna operazione, diventa
$ \lim_{x \to +\infty} -2x=-\infty $ ok?
Comunque, se non ti venisse subito in mente tale confronto, opera come ti è stato consigliato da K.Lomax
) Comunque, nel caso in cui in futuro ti dovessi trovare di fronte ad un limite simile confronta sempre gli infiniti, perché ti permette di semplificare la funzione senza troppi passaggi, cioè nel caso in questione hai che $ log(x+\sqrt(x^2+1)) $, per $x \to \+infty$ è un infinito di ordine minore rispetto a $ 2x $. Sicché il limite, senza fare alcuna operazione, diventa
$ \lim_{x \to +\infty} -2x=-\infty $ ok?
Comunque, se non ti venisse subito in mente tale confronto, opera come ti è stato consigliato da K.Lomax
Quindi posso utilizzare questi discorso degli infinitesimi anche per il calcolo di questo limite:
$lim_(t->(1/e)^-)(sqrt(t)|1/(1+logt)|)|t-1/e|$; o mi sbaglio?
$lim_(t->(1/e)^-)(sqrt(t)|1/(1+logt)|)|t-1/e|$; o mi sbaglio?
Notando che il limite è da sinistra puoi eliminare i valori assoluti, ovviamente tenendo conto del corretto segno. Dopodichè puoi ragionare sugli infinitesimi, sviluppando in serie di Taylor $logt$ intorno al punto $t=1/e$
Ma il limite non dovrebbe essere per $ t=(1/e)^{+} $, visto l'argomento del radicale e del logaritmo ?
@Aliseo
Il dominio è $t>0$ e $1/e$ lo è sicuramente. Puoi venire tranquillamente da sinistra.
Il dominio è $t>0$ e $1/e$ lo è sicuramente. Puoi venire tranquillamente da sinistra.
è vero ... che svista 
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