Calcolo limite con Infinitesimi
Ciao a tutti raga vi chiedo un aiuto nel risolvere quest'esercizio con gli infinitesimi molto banale; xò io nn so usare bene gli infitesimi.
si tratta di un limite:
$lim_(x->0)(3x^2-sen^2x)/(x^2+sen^2x)$
allora il limite dovrebbe fare 1.Ora io non riesco a capire come fare lo sviluppo asintotico di $sen^2x$.Allora io ho pensato di scrivere $sen^2x=(senx)(senx)$,e quindi poi ottengo $(x+o(x))(x+o(x))$;la stessa cosa al denominatore; poi però nn so più come proseguire.
si tratta di un limite:
$lim_(x->0)(3x^2-sen^2x)/(x^2+sen^2x)$
allora il limite dovrebbe fare 1.Ora io non riesco a capire come fare lo sviluppo asintotico di $sen^2x$.Allora io ho pensato di scrivere $sen^2x=(senx)(senx)$,e quindi poi ottengo $(x+o(x))(x+o(x))$;la stessa cosa al denominatore; poi però nn so più come proseguire.
Risposte
Ma perchè tutti vogliono usare Taylor?
Mettere in evidenza $x^2$ al numeratore ed al denominatore ed usare il limite fondamentalissimo del seno, $lim_(x\to 0) (sinx)/x=1$, non va più di moda?
Ad ogni modo, $[x+"o"(x)]^2=x^2+"o"(x^2)$: infatti $[x+"o"(x)]^2=x^2+2x"o"(x)+["o"(x)]^2$ e si vede subito che $2x"o"(x)+["o"(x)]^2$ è un $"o"(x^2)$.
Mettere in evidenza $x^2$ al numeratore ed al denominatore ed usare il limite fondamentalissimo del seno, $lim_(x\to 0) (sinx)/x=1$, non va più di moda?
Ad ogni modo, $[x+"o"(x)]^2=x^2+"o"(x^2)$: infatti $[x+"o"(x)]^2=x^2+2x"o"(x)+["o"(x)]^2$ e si vede subito che $2x"o"(x)+["o"(x)]^2$ è un $"o"(x^2)$.
si lo so hai ragione solo che il mio prof di analisi è fissato con gli infinitesimi e principio di sostituzione.Cmq grazie 1000 per l'aiuto.
"Gugo82":
Ma perchè tutti vogliono usare Taylor?
Mettere in evidenza $x^2$ al numeratore ed al denominatore ed usare il limite fondamentalissimo del seno, $lim_(x\to 0) (sinx)/x=1$, non va più di moda?
La pensavo anch'io come te fino a che non ho fatto l'esame di Analisi... Usare Taylor mi dava quasi fastidio,
ma dopo che mi ci sono abituato ormai lo uso automaticamente...
scusa un'ultima cosa potresti spiegarmi perchè $2xo(x)+[o(x)]^2$ è un $o(x^2)$
Dimostralo: dividi per $x^2$ e vedi che esce fuori. 
Ma perchè si usano così poco le asintoticità(notevoli e non)? Semplificano di molto:
$sen(x)^n)~(per x->0)$ a $x^n$. Da qui applicando Hospital viene poi 1.
$sen(x)^n)~(per x->0)$ a $x^n$. Da qui applicando Hospital viene poi 1.
Si lo so è più facile ma prima devi prenderci la mano.Io nn li ho mai usati e quindi nn mi viene tanto facile.
capisco.....colpa dei prof che spesso per "farci ragionare" complicano le cose anche più semplici
Siano f,g funzioni reali. Si dice che f è o piccolo di g per x tendente a x0 e si scrive f=o(g) per x->xo se e solo se $lim(x->xo)(f(x)/g(x))=0
@ledrox: sei pregato di scrivere bene le formule (visto che ormai sei obbligato ad usare MathML).
okok.....
"Gugo82":
Dimostralo: dividi per $x^2$ e vedi che esce fuori.
scusa gugo ma per dire che $2xo(x)+[o(x)]^2$ è $o(x^2)$ vuol dire che $2xo(x)+[o(x)]^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $o(x^2)$; e che quindi tende più velocemente a $0$.Quindi questo significa che se calcolo $lim_(x->0)(2xo(x)+[o(x)]^2)/(o(x^2)$ questo deve fare $0$ giusto o sbaglio?
"identikit_man":
[quote="Gugo82"]Dimostralo: dividi per $x^2$ e vedi che esce fuori.
scusa gugo ma per dire che $2xo(x)+[o(x)]^2$ è $o(x^2)$ vuol dire che $2xo(x)+[o(x)]^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $o(x^2)$ [...][/quote]
No.
Vuol dire che $2xo(x)+[o(x)]^2$ è un infinitesimo d'ordine superiore a $x^2$; in altre parole risulta:
$lim_(x\to 0) (2xo(x)+[o(x)]^2)/x^2=0 \quad$.
Tale relazione è molto facile da dimostrare (basta spezzettare un po' la frazione sotto il segno di limite).
Quindi spezzattando la funzione ottengo 2 frazioni che sn: $(2xo(x))/x^2$ e la seconda che è $[o(x)]^2/x^2$ ottengo che il limite diventa $lim_(x->0)(2o(x))/x +lim_(x->0)([o(x)]^2)/x^2$; ora seguendo la proprietà degli o piccolo che ci sn sul mio libro, posso anke scrivere che $lim_(x->0)(o(x))/x +lim_(x->0)([o(x)]^2)/x^2$ ora come devo continuare?.La mia difficoltà sta nel fatto che nn riesco a capire come trattare gli "o piccolo".
Semplificando, dire che $f(x) " è " "o"(x)$ significa che $lim_(x\to 0) (f(x))/x = 0$.
Ora, nel ragionamento di prima (che forse ho semplificato troppo brutalmente), avevi $(x+f(x))^2$ in cui $f(x)$ era un $"o"(x)$ in $0$; quindi ti ritrovavi:
$(x+f(x))^2=x^2+2xf(x)+f^2(x)$
e ti esortavo a dimostrare che $2xf(x)+f^2(x)$ è un $"o"(x^2)$.
Allora:
$lim_(x\to 0)(2xf(x)+f^2(x))/x^2=lim_(x\to 0)2(f(x))/x+(f^2(x))/x^2=lim_(x\to 0)2(f(x))/x+(f(x))/x*(f(x))/x$
ma $(f(x))/x to 0$ per definizione di $"o"(x)$ e quindi il limite all'ultimo membro è $0$.
Quindi $2xf(x)+f^2(x)$ è un $"o"(x^2)$.
Meno formalmente e molto scorrettamente, puoi considerare il simbolo $"o"(x^n)$ come se fosse una funzione che verifica la relazione di limite $lim_(x\to 0) ("o"(x^n))/x^n=0$.
Ora, nel ragionamento di prima (che forse ho semplificato troppo brutalmente), avevi $(x+f(x))^2$ in cui $f(x)$ era un $"o"(x)$ in $0$; quindi ti ritrovavi:
$(x+f(x))^2=x^2+2xf(x)+f^2(x)$
e ti esortavo a dimostrare che $2xf(x)+f^2(x)$ è un $"o"(x^2)$.
Allora:
$lim_(x\to 0)(2xf(x)+f^2(x))/x^2=lim_(x\to 0)2(f(x))/x+(f^2(x))/x^2=lim_(x\to 0)2(f(x))/x+(f(x))/x*(f(x))/x$
ma $(f(x))/x to 0$ per definizione di $"o"(x)$ e quindi il limite all'ultimo membro è $0$.
Quindi $2xf(x)+f^2(x)$ è un $"o"(x^2)$.
Meno formalmente e molto scorrettamente, puoi considerare il simbolo $"o"(x^n)$ come se fosse una funzione che verifica la relazione di limite $lim_(x\to 0) ("o"(x^n))/x^n=0$.
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